tensóre (matematica)

Definizione

sm. [da tensore (anatomia)]. Ente matematico atto a esprimere in modo sintetico particolari grandezze geometriche e fisiche e a formulare in modo concettualmente semplice leggi fisiche, in maniera indipendente dal sistema di riferimento utilizzato. Il concetto di tensore è una generalizzazione di quello di vettore: considerando una terna cartesiana ortogonale x₁, x₂, x₃, un vettore v è rappresentato da tre componenti v₁, v₂, v₃; passando a una nuova terna di riferimento x₁, x₂, x₃, il vettore non cambia, ma le sue componenti si trasformano con la legge

dove α_i sono i coseni direttori di una terna rispetto all'altra. Il tensore viene analogamente definito matematicamente come l'ente che è individuato in un riferimento cartesiano x₁, x₂, x₃ da tre vettori T₁, T₂, T₃, i quali passando al sistema di riferimento x₁, x₂, x₃ si trasformano secondo la legge Il tensore può essere rappresentato invece che da tre vettori T₁, T₂, T₃ dalle loro componenti cartesiane T₁₁, T₁₂, T₁₃ per T₁; T₂₁, T₂₂, T₂₃ per T₂; T₃₁, T₃₂, T₃₃ per T₃, che indicate sinteticamente con T_ik (i, k=1, 2, 3) si trasformano al cambiare del sistema di riferimento cartesiano nel seguente modo: Il tensore come definito dalla prima definizione viene anche chiamato tensore doppio perché, come si vede dalla seconda definizione, è anche individuato da un sistema doppio di componenti scalariT_ik per estensione si definiscono i tensori tripli, quadrupli, ... di ordine n. Un tensore triplo è rappresentato in un sistema di riferimento cartesiano da tre tensori doppi, o nove vettori T, o ventisette scalari T_jhr; i vettori T si trasformano nel seguen te modo: . In generale un tensore di ordine n è rappresentato da un sistema n-plo di scalari, cioè da 3ⁿ scalari; per n=0 si ha uno scalare, per n=1 si ha un vettore, per n=2 si ha un tensore doppio ecc.

Matematica: coordinate curvilinee

Quando ci si riferisce a coordinate curvilinee, per esempio a coordinate cilindriche o polari, si considerano per un tensore due tipi di componenti: quelle covarianti (con indici in basso) e quelle controvarianti (con indici in alto). Le formule di trasformazione per un cambiamento di coordinate curvilinee da x^j a xⁱ sono:

ed entrambe si riducono alla seconda definizione nel caso particolare di coordinate cartesiane ortogonali. Si possono considerare anche componenti miste con un indice di covarianza e uno di controvarianza; la formula di trasformazione è:

che si riduce alla seconda definizione nel caso di riferimento cartesiano. Le formule precedenti si estendono ai tensori tripli, quadrupli ecc.

Algebra

L'algebra tensoriale introduce relazioni di uguaglianza, somma o differenza, prodotto tensoriale ecc. analogamente a quello che si fa nel calcolo vettoriale; per esempio, si definisce la somma algebrica di due tensori dello stesso ordine come il tensore che ha per componenti la somma delle componenti dei due addendi. La composizione di due tensori, o saturazione degli indici, si effettua moltiplicando tra loro le componenti di due tensori aventi rispettivamente un indice covariante e uno controvariante uguali e sommando i prodotti rispetto a tale indice; si ottiene così un altro tensore con due indici di meno. Eseguendo tale operazione su un tensore posto in forma mista si ha una contrazione (detta contrazione degli indici) e il tensore così ottenuto viene detto tensore contratto. Se le componenti di un tensore non cambiano permutando in tutti i modi possibili un dato gruppo di indici, il tensore si dice simmetrico rispetto a quel gruppo di indici. Un tensore doppio è, per esempio, simmetrico se, per qualunque coppia di valori di i, h risulta T_ih=T_hi; se invece risulta sempre T_ih=-T_hi, il tensore si dice emisimmetrico. Un tensore si dice isotropo, se le sue componenti cartesiane non cambiano al cambiare comunque del riferimento, si dice anisotropo in caso contrario. In ogni spazio riemanniano (in particolare euclideo) ha grande importanza il tensore fondamentale; esso è un tensore doppio simmetrico che definisce le proprietà geometriche dello spazio e viene generalmente indicato con g_ij; se si considera uno spazio euclideo tridimensionale, dato un sistema cartesiano di riferimento, il tensore fondamentale è individuato da tre vettori unitari diretti come gli assi; le sue nove componenti generalmente indicate con a_ik sono uguali a 0 per i≠k e sono uguali a 1 per

Un altro tensore di grande utilità è il tensore di Ricci che viene costruito mediante il tensore fondamentale; è un tensore triplo individuato in un sistema di riferimento cartesiano dai nove vettori ottenuti moltiplicando vettorialmente tra loro i versori della terna cartesiana di riferimento:

Le ventisette componenti cartesiane di questi vettori costituiscono un sistema triplo di scalari dati dai prodotti misti

Se almeno due dei tre indici i k h sono uguali ε=0; le sole componenti non nulle sono quelle i cui indici sono distinti e sono uguali a 1 o a -1, secondo che la classe della permutazione ikh è pari o dispari rispetto alla fondamentale 1, 2, 3. Il calcolo tensoriale ha come scopo principale lo studio delle proprietà geometriche locali degli spazi di Riemann e in generale di tutti gli spazi non euclidei. Il tensore fondamentale individua completamente uno spazio riemanniano, ma, per esprimere le proprietà geometriche di un intorno infinitesimo di un punto P, si introduce il concetto di derivata di un tensore, la quale è una quantità che non è un tensore, ma dipende dal sistema di coordinate rispetto a cui si effettua la differenziazione; come conseguenza si ricava che il concetto di parallelismo, come è inteso negli spazi euclidei, non è più applicabile agli spazi riemanniani. Per caratterizzare la curvatura dello spazio si introduce il tensore di curvatura o tensore di Riemann; esso è un tensore del quarto ordine R_iljk e il suo annullarsi esprime la condizione necessaria e sufficiente perché lo spazio sia euclideo. Il calcolo tensoriale presenta la sua più importante applicazione nella teoria generale della relatività.