ipergeomètrico

Definizione

agg. (pl. m. -ci) [iper-+geometrico]. In matematica, equazione ipergeometrica, equazione differenziale lineare del 2º ordine, totalmente fuchsiana e con tre punti singolari. Ha come integrale particolare la serie ipergeometrica, la cui somma è detta funzione ipergeometrica. È detta invece equazione ipergeometrica confluente un'analoga equazione, fuchsiana, ma non totalmente fuchsiana, in cui due delle singolarità confluiscono nel punto all'infinito. Serie ipergeometrica confluente e funzione ipergeometrica confluente sono definite analogamente. La teoria e lo studio particolareggiato di queste equazioni e delle loro soluzioni sono fondamentali in fisica matematica in quanto tali equazioni si presentano in moltissimi problemi di fisica atomica, nucleare e quantistica.

Equazioni ipergeometriche e ipergeometriche confluenti

Data nel campo complesso un'equazione differenziale del tipo

in cui p₁ e p₂ sono funzioni analitiche olomorfe che possono avere singolarità nel loro campo di definizione, si dimostra (vedi Fuchs) che, se gli integrali dell'equazione differenziale data hanno singolarità al finito, queste possono essere solo punti singolari di p₁ e p₂. L'equazione è detta fuchsiana in un punto z₀ se in quel punto p₁ ha un polo di ordine non maggiore del primo e p₂ ha un polo di ordine non maggiore del secondo. In caso contrario l'equazione è detta non fuchsiana. Nel caso poi in cui si consideri anche il punto all'infinito, l'equazione è detta totalmente fuchsiana se l'equazione che da essa si ottiene operando la sostituzione z = 1/t è fuchsiana per t = 0. L'equazione totalmente fuchsiana più interessante è quella con tre punti singolari z = a, z = b, z = c. Essa può essere scritta nella forma generale:

con h¹, h², k¹, k², k³ costanti. Le funzioni A(z) e B(z) possono essere scritte in un'altra forma. A tal proposito, dato un punto singolare z₀, si chiama equazione determinante relativa a z₀ l'equazione

Siano α e αl´ e radici dell'equazione determinante relativa al punto singolare a; siano poi β e β´ le radici relative al punto be γ, γ´ le radici relative a c. Si ha allora:

L'equazione y´´ A(z)y´ + B(z)y = 0, con A(z) e B(z) espresse come sopra, viene detta equazione di Papperitz. Per indicare una generica funzione soddisfacente all'equazione di Papperitz si usa la seguente notazione, detta simbolo P di Riemann:

Operando nell'equazione differenziale data la sostituzione

nella variabile indipendente, si spostano i tre punti singolari nei tre punti 0, 1, ∞; si giunge allora alla soluzione espressa da

Nel caso invece in cui i tre punti singolari si trovino già in partenza nei punti 0, 1, ∞, la generica funzione che soddisfa l'equazione differenziale si può scrivere:

avendo posto α + β + γ = δ, α + β + γ´= ε, 1 + α - α´= η. Le equazioni totalmente fuchsiane con α = β = 0, α´ = 1 - c, β´= c - a - b, γ´= b sono dette equazioni ipergeometriche e si scrivono allora nella forma

Nel caso in cui nessuno dei tre valori c, c - a - b, a - b sia intero, nell'intorno dei tre punti 0, 1, ∞ si hanno le tre coppie di soluzioni linearmente indipendenti

cui P₁, P₂, P₃, P₄, P₅, P₆ sono serie convergenti di potenze a esponenti interi, in taluni casi riducibili a polinomi. Si ha per P₁ la seguente serie, detta serie ipergeometrica:

Indicando la serie ipergeometrica con il simbolo F(a, b, c; z), con semplici calcoli si trova: P₂= F(a-c + 1, b - c + 1, 2 - c; z). Ne segue che l'integrale generale dell'equazione ipergeometrica è dato da:

essendo C₁ e C₂ le costanti di integrazione. Un caso limite molto importante di equazione ipergeometrica è costituito dall'equazione ipergeometrica confluente che si ha quando due dei tre punti singolari confluiscono tra loro all'infinito. In questo caso l'equazione differenziale è fuchsiana, ma non totalmente fuchsiana, e si scrive:

Per c diverso da intero e da zero, l'integrale generale dell'equazione ipergeometrica confluente è dato da y = C₁F₁(a, c; z)+C₂z^{1- c} F₁(a - c + 1, 2 - c; z), in cui F₁ rappresenta la serie ipergeometrica confluente espressa da

e C₁ e C₂ sono le costanti di integrazione. Sono riconducibili a equazioni ipergeometriche le equazioni di Legendre e le equazioni associate di Legendre; sono riconducibili a equazioni ipergeometriche confluenti le equazioni di Laguerre e le equazioni associate di Laguerre; le equazioni differenziali che hanno come soluzioni i polinomi di Hermite e le equazioni di Bessel.§

L'equazione di Legendre

ha tre punti singolari, rispettivamente in + 1, - 1, ∞. Per λ = n(n + 1), con n intero, essa ha soluzioni polinomiali, dette polinomi di Legendre, della forma

. I polinomi di Legendre sono tutti e solo quelli dati dalla relazione

Tale relazione è detta formula di Rodrigues. Per i polinomi di Legendre si ha inoltre la seguente formula di ricorrenza:

L'equazione associata di Legendre è la

con m intero. L'equazione ammette come caso particolare, per m = 0, l'equazione di Legendre. Ha tre singolarità fuchsiane rispettivamente in + 1, - 1, ∞. Fra le sue soluzioni sono particolarmente importanti quelle polinomiali che si hanno per λ = n(n + 1), con n intero maggiore di m. Tali soluzioni sono i polinomi associati di Legendre e sono date da

che si indicano con il simbolo P(z). Nel caso m = 0 essi si riducono ai polinomi di Legendre. Per le funzioni associate di Legendre valgono le formule di ricorrenza:

. §

Tra le funzioni ipergeometriche confluenti, le equazioni di Laguerre, zy´´ + (1- z)y´ + λy = 0, ammettono, per λ = n intero, soluzioni polinomiali, i cosiddetti polinomi di Laguerre: L(z)= n!F₁(-n, 1; z), espressi in forma differenziale dalla

e per i quali vale la formula di ricorrenza

L'equazione associata di Laguerre è la

che, per λ = n > m > 0, ha come soluzioni polinomiali i polinomi associati di Laguerre:

che sono indicati con il simbolo L (z); essi sono espressi in forma differenziale dalla:

. §

Sono ancora soluzione di un'equazione ipergeometrica confluente, cioè della y´´ - 2zy´ + 2ny = 0, i polinomi di Hermite:

per i quali vale la formula di ricorrenza: 2zH= 2nH_-1+ H₊₁. § La più importante classe di equazioni riconducibili a equazioni ipergeometriche confluenti è infine costituita dalle equazioni di Bessel:

il cui integrale generale, per ν non intero, è dato da: y = AJ_ν + BJ _-ν, essendo A e B le costanti di integrazione e

con Γ intendendosi la funzione gamma di Eulero. La funzione J_ν è detta funzione di Bessel di prima specie di ordine ν. Introducendo le funzioni di Bessel di seconda specie di ordine ν, dette anche funzioni di Neumann:

l'integrale generale dell'equazione di Bessel si può scrivere: y=J_ν+ BN_ν. Introducendo, infine, le funzioni di Bessel di terza specie, dette anche funzioni di Hankel,

si trova ancora un'altra forma per l'integrale generale dell'equazione di Bessel: y = A₁H⁽¹⁾_ν+ B₁H⁽²⁾_ν. Le funzioni J_ν, N_ν, H_ν sono dette anche funzioni circolari, o cilindriche, rispettivamente di 1^a, 2^a e 3^a specie. In corrispondenza a ciascuna di esse si introducono le funzioni di Bessel sferiche

in cui le sono le funzioni di Bessel cilindriche. Le funzioni di Bessel sferiche soddisfano l'equazione di Bessel sferica:

.

Bibliografia

F. Ayres, Theory and Problems of Differential Equations, New York,1952; P. Caldirola, Istituzioni di fisica teorica, Milano, 1958; F. G. Tricomi, Funzioni speciali, Torino, 1959; idem, Equazioni differenziali, Torino, 1961; J. V. Arnold, Metodi geometrici della teoria delle equazioni differenziali ordinarie, Roma, 1989.