integrale

Lessico

agg. e sm. [sec. XIV; dal latino tardo integrālis, da intĕger, integro].

1) Agg., intero, totale, completo: un cambiamento integrale; opera in edizione integrale, completa, senza alcuna omissione; educazione integrale, che tende a sviluppare armonicamente tutte le facoltà dell'individuo; pane integrale, quello, con crosta e mollica scura, ottenuto da farina non burattata ad alta percentuale di crusca. Poiché la farina non burattata mantiene in sé tutti gli elementi minerali e proteici del grano, il pane integrale presenta un alto valore nutritivo; inoltre è facilmente digeribile. Il termine pane integrale viene esteso anche a pane ottenuto da miscele di farine di segale, di avena, ecc.

2) Per estensione, non comune, che concorre alla costituzione di un tutto, integrante: parte integrale, indispensabile alla completezza del tutto.

3) Agg. e sm., in analisi matematica: A) integrale definito di una funzione f(x) è il valore numerico espresso dal simbolo

Integrale. indefinito di una funzione f(x) è ogni funzione la cui derivata sia f(x). Per gli integrali abeliani e gli integrali ellittici, vedi abeliano ed ellittico. Per gli integrali di una equazione differenziale, vedi equazione. B) Data un'equazione differenziale del tipo y‟ = F(x,y,y´), viene definito integrale primo ogni relazione del tipo f(x,y,y´) = costante che sia identicamente soddisfatta da ogni soluzione y dell'equazione differenziale data. Il concetto si generalizza a sistemi di equazioni differenziali e trova applicazioni notevoli in meccanica razionale. C) Calcolo integrale è l'insieme delle regole e dei teoremi relativi al concetto di integrale. D) Equazione integrale, equazione nella quale le funzioni incognite figurano sotto il segno di integrale. Le più note sono le equazioni di Fredholm e di Volterra.

Matematica: integrale definito

Sia y = f(x) una funzione definita e limitata nell'intervallo chiuso e limitato [a,b] dato dalle x tali che a ≤ x ≤ b; diviso questo in n intervalli di ampiezza qualunque h₁,h₂,...,h_n, quindi Σh_i = b - a, si indichi con f un qualunque valore di f(x) nell'i-mo di questi; si moltiplichi ciascun fper l'ampiezza h dell'intervallo a cui appartiene e si considerino le somme

Se al tendere a zero della massima ampiezza delle parti h esiste il limite delle somme S, la f(x) si dice integrabile nell'intervallo [a,b]; il limite stesso viene detto integrale definito di f(x) in [a,b] e lo si rappresenta con il seguente simbolo

i numeri a e b sono i limiti di integrazione, f(x) è la funzione integranda, x è la variabile di integrazione; il simbolo ʃ è una deformazione della lettera S, iniziale della parola somma; l'integrale così come è stato definito è detto integrale secondo Riemann, o anche integrale secondo Mengoli-Cauchy. Considerata la rappresentazione grafica della funzione y = f(x), si osserva che, nel caso in cui si abbia f(x) ≥ 0 per a ≤ x ≤ b, l'integrale corrisponde all'area del trapezoide costituito dall'insieme dei punti del piano che soddisfano alle disuguaglianze: a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x). L'operazione di integrazione si chiama anche quadratura perché l'integrale definito permette di quadrare le superfici, cioè di determinarne l'area. Si può dimostrare che una condizione necessaria per l'integrabilità di una f(x) in un intervallo è che essa in tale intervallo sia limitata, ma questa è una condizione non sufficiente perché, per esempio, la funzione di Dirichlet è ovunque limitata, ma non ammette integrale. Sono integrabili tutte le funzioni continue e, fra le discontinue, quelle che, essendo limitate, presentano discontinuità in un numero finito di punti, cioè le funzioni generalmente continue.

Matematica: proprietà dell'integrale definito

Se si pone per definizione

, per funzioni da integrare (funzioni integrande) limitate e generalmente continue in [a,b], cioè integrabili, valgono le seguenti proprietà:

poiché anche | f(x) | ammette integrali se lo ammette f(x);

G) se f(x) e g(x) sono integrabili in [a,b] e g(x) non cambia mai segno in [a,b], si ha

dove μ è un opportuno valore, compreso tra gli estremi inferiore e superiore, di f(x) in [a,b]; l'ultima proprietà è nota come teorema generalizzato della media. Se si considera l'integrale definito esteso non a tutto [a,b], ma all'intervallo [a,x], con x < b, questo integrale dipende dal valore x considerato ed è una funzione di detta funzione integrale di f(x); all'espressione , dove C è una costante detta costante di integrazione, si dà il nome di integrale indefinito. La funzione integrale è una funzione continua in [a,b] e costituisce una primitiva di f(x); la derivata della funzione F(x) è cioè uguale alla funzione f(x). Se f(x) presenta punti di discontinuità, F(x) è una primitiva generalizzata. Due primitive di una f(x) differiscono tra loro solo per una costante additiva. Per quanto detto, l'insieme di tutte le primitive di una funzione f(x) costituisce l'integrale indefinito di f(x). Nota una primitiva φ(x) di f(x) si ha

Questa formula viene detta formula fondamentale del calcolo integrale. Spesso il numero φ(b) - φ(a) viene indicato con il simbolo . Consideriamo, per esempio, la funzione

Essa è continua per ogni x > 0. Vogliamo calcolare l'integrale definito da 1 a 2 di tale funzione. La funzione è una primiti-va della funzione f(x). Applicando la formula fondamentale del calcolo integrale, otteniamo:

La porzione di piano dall'asse delle x e dalle rette verticali di equazioni x = 1 e x = 2 ha dunque area uguale a . Si usano, nel calcolo degli integrali, alcune importanti formule, valide sia per gli integrali definiti, sia per gli integrali indefiniti. La prima è un'immediata conseguenza della regola di derivazione del prodotto di due funzioni ed è detta formula di integrazione per parti:

dove f, f´, g sono funzioni continue nell'intervallo di definizione, dotate di derivate prime, e G(x) è una primitiva di g(x); la funzione f(x) è detta fattore finito; mentre g(x)dx è detto fattore differenziale. Per esempio sia da calcolare l'integrale di cos² x; si assuma cos x come fattore finito e cos x dx come fattore differenziale; si ha

.

Un'altra formula, conseguenza immediata della regola di derivazione di funzione composta, è la formula di integrazione per sostituzione:

dove g(z) è una funzione continua in un intervallo [c,d], e f(x) è continua nell'intervallo [a,b] in cui a e b (a < b) sono il valore minimo e il valore massimo assunti da g(z) in [c,d]. Per esempio, per calcolare l'integrale di (ax + b)dx si pone ax + b = z, da cui x = (z-b)/a dx = dz/a; perciò:

Matematica: integrali impropri o generalizzati

Quando la funzione f(x) non è definita in un punto dell'intervallo [a,b], si possono considerare gli integrali impropri, o generalizzati. Supponiamo, per esempio, che la funzione f(x) sia definita nell'intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra (a,b], dato dalle x tali che a < x ≤ b. Supponiamo poi che il limite di f(x) per x tendente ad a sia uguale a infinito e che in ogni intervallo [a´,b] con a < a´ la funzione f(x) sia integrabile. Se esiste il limite, per a´ tendente ad a, dell'integrale da a´ a b della funzione f(x), si assume tale limite come integrale generalizzato da a a b della funzione f(x). Si pone cioè

Calcoliamo, per esempio, l'integrale definito da 0 a 1 della funzione . Tale funzione non è definita in 0. Si ha:

Notiamo che la curva di equazione ha come asintoto verticale l'asse delle y. Dal calcolo dell'integrale appena fatto segue che la porzione di piano dall'asse delle x, dall'asse delle y e dalla retta verticale di equazione x = 1 ha area uguale a 2. In tal modo si definisce l'integrale generalizzato di una funzione definita nell'intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra [a,b) dato dalle x tali che a ≤ x < b. L'integrale generalizzato, nel caso in cui la funzione f(x) sia definita in un intervallo [a,b] escluso un punto c interno all'intervallo [a,b] e la funzione f(x) sia integrabile in ognuno degli intervalli [a,c - ε], [c + ε´, b] con ε> 0, ε´> 0 qualunque, lo si definisce ponendo

purché i due limiti del secondo membro esistano e siano finiti. In tutti questi casi si hanno i seguenti criteri che permettono di stabilire delle condizioni sufficienti per la convergenza dell'integrale (ci si può limitare, senza che venga meno la generalità, al caso in cui il punto di infinito sia situato all'estremo destro b dell'intervallo di integrazione): se per x tendente a b la f(x) è infinita di ordine minore o uguale ad α, con α < 1, essa è integrabile; se per x tendente a b la f(x) è infinita di ordine ≥ 1 e mantiene segno costante in un intorno di b, essa non è integrabile. Analogamente si definisce l'integrale generalizzato esteso a un intervallo illimitato, ponendo:

purché la f(x) ammetta integrali in un intervallo comunque esteso e i limiti esistano finiti. Calcoliamo, per esempio, l'integrale definito da 2 a + ∞ della funzione . Si ha:

Da ciò deriva che la funzione non è integrabile nell'intervallo [2, + ∞) dato dalle x tali che b ≤ x. La curva di equazione ha come asintoto orizzontale l'asse delle x. Dal calcolo dell'integrale appena fatto segue che la porzione di piano dall'asse delle x e dalla retta verticale di equazione x = 2 ha area infinita. Anche nel caso di integrali definiti in intorni illimitati si può stabilire un criterio sufficiente per l'integrabilità per il quale se f(x), in [a, + ∞] o in [- ∞ ,b], è infinitesima di ordine ≥ α, con α > 1, essa ammette integrali; se invece essa è infinitesima di ordine ≤ 1 e mantiene segno costante per x > a (o per x < b) essa non è integrabile.

Matematica: integrale di Lebesgue e integrale curvilineo

L'integrale di Lebesgue è un'estensione della nozione di integrale definito, alla quale si pervie ne osservando che l'integrale , qualora f(x) sia integrabile, ma non continua in [a,b], può considerarsi come limite di analoghi integrali le cui funzioni integrande siano continue. Precisamente, se f(x) è una funzione quasi-continua, i suoi punti di discontinuità costituiscono un insieme appartenente ad [a,b] avente misura complessiva minore di un ε comunque piccolo; allora si può associare alla f(x) delle funzioni gε(x) che siano continue in tutto [a,b]. Se esiste finito il si assume questo valore come l'integrale di Lebesgue della f(x) relativo ad [a,b]. Esso coincide con l'integrale di Riemann se la f(x) è continua in [a,b]. § Integrale curvilineo della funzione f(x,y), continua nel campo chiuso A, esteso alla curva C del piano (x,y) definita da x = x(t), y = y(t), con (a ≤ t ≤ b) e x(t), y(t) continue in [a,b] e tali che ogni punto [x(t), y(t)] appartenga ad A, relativo alla funzione u(t)(a ≤ t ≤ b), continua insieme con la propria derivata u´(t), è il limite della somma

dove a = t₀,t₁,...,t,...,t= b sono un numero finito di punti che dividono l'intervallo [a,b] e hè un valore qualsiasi dell'intervallo [t_-₁,t], quando tende a zero la massima delle ampiezze in cui è stato diviso l'intervallo (a,b). Viene in dicato con la notazione Si può dimostrare che

Se u(t) = t e la curva C è rettificabile, allora l'integrale curvilineo della f(x,y) diventa:

in cui x = x(s), y = y(s) sono equazioni parametriche con 0 ≤ s ≤ L, essendo L la lunghezza della curva. Se f(x,y) ≥ 0, l'integrale curvilineo rappresenta l'area della parte di superficie cilindrica con generatrici parallele all'asse z e avente come direttrice la curva C, che è compresa tra il piano (x,y) e la superficie z = f(x,y).

Matematica: integrale definito pluridimensionale e integrali di differenziali esatti

La nozione di integrale definito è suscettibile di un'importante estensione cui si arriva quando si opera su funzioni di due o più variabili e quindi il campo di integrazione è un dominio a due o più dimensioni. Ci si può limitare al caso n = 2, essendo immediata l'estensione al caso n > 2. Si consideri una funzione f(x,y), definita in un campo A limitato del piano xy. Si divida A in n parti A₁,A₂,...,A in un qualunque modo e sia f il valore di f(x,y) in un qualsiasi punto di Ae si consideri la somma . Se al variare della suddivisione considerata e al tendere a zero delle aree delle parti in cui è stato diviso A, esiste finito il lim , dove h è il massimo diametro di cerchi contenenti le aree A₁,...,A, allora la funzione f(x,y) è integrabile nel campo A e l'integrale si indica con la notazione Esso, nel caso in cui si abbia f(x,y)≥0 per ogni (x,y) appartenente ad A, rappresenta il volume del cilindroide costituito dai punti (x,y,z) tali che (x,y) appartiene ad A ed è 0 ≤ z ≤ f(x,y). Le condizioni di integrabilità si ottengono, con semplici estensioni, da quelle già stabilite per gli integrali unidimensionali. Per il calcolo di un integrale bidimensionale, o integrale doppio, si usa una delle due seguenti formule:

in cui il campo A del piano (x,y) è definito dalle seguenti disuguaglianze: c ≤ y ≤ d, u(y) ≤ x ≤ v(y) con u(y) e v(y) funzioni continue in c ≤ y ≤ d e u(y) ≤ v(y);

B)

dove il campo A´ è definito dalle seguenti disuguaglianze:

e h(x) e k(x) sono funzioni continue in a ≤ x ≤ b e h(x) ≤ k(x). Per esempio, si debba calcolare

dove A è il campo limitato dalla parabola y = 1 - x² e dall'asse x. Utilizzando la B) si ha che I è uguale a:

Allo stesso risultato si arriva usando la A):

Anche per gli integrali doppi esistono le generalizzazioni relative a funzioni illimitate oppure a integrali estesi a campi illimitati. Di importanza notevole sono infine le formule di Gauss-Green, che permettono di ricondurre un integrale superficiale, cioè doppio, a un integrale curvilineo. La prima formula è:

dove A è un campo definito come per la formula A) vista sopra, γ è il suo contorno e B(x, y) è una funzione continua in A insieme alla propria derivata parziale . La seconda formula è:

dove D e B sono funzioni continue in A insieme alle derivate parziali ∂D/∂y e ∂B/∂x. Nei secondi membri delle due formule compaiono gli integrali curvilinei estesi al contorno γ di A percorso in senso antiorario. § Gli integrali di differenziali esatti, estesi a una curva tracciata nel campo in cui le funzioni formano un differenziale esatto, dipendono solo dagli estremi della curva e non dalla particolare curva scelta; se la curva è chiusa l'integrale è nullo.

Bibliografia

M. Villa, Repertorio di matematiche, Padova, 1951; F. Tricomi, Lezioni di analisi matematica, 1956; S. Cinquini, M. Cinquini-Cibrario, Lezioni di analisi matematica, Pavia, 1962; R. Balduccetti, G. Morelli, Gli integrali, Roma, 1985.