differenza tra il valore reale e quello misurato di una grandezza. Se si ripete più volte la misurazione di una grandezza, per esempio una lunghezza, non si ottengono in generale risultati uguali, per cui si deduce che alcuni di essi, o forse anche tutti, sono diversi dal valore vero, cioè sono affetti da errore. Gli errori che si commettono nelle misurazioni si dividono in due gruppi: errori sistematici ed errori accidentali o casuali. I primi dipendono da fattori identificabili, che operano sempre nello stesso senso e sono dovuti a difetti di costruzione dello strumento di misura, difetti di taratura, uso sbagliato dello strumento, ecc.; essi, una volta individuati, possono essere eliminati o corretti. I secondi dipendono da cause fortuite inevitabili e indeterminabili, quali, per esempio, fluttuazioni di temperature, di pressioni, di intensità di corrente, errori di lettura non costanti, ecc.; essi non sono eliminabili, ma possono compensarsi ed essere valutati con opportuni criteri indicati dalla teoria degli errori di Gauss, della quale viene data una sommaria esposizione. Effettuando n misurazioni a₁, a₂, ..., a di una grandezza A, si assume come valore più probabile della grandezza la media aritmetica
dei valori ottenuti. Tale valor medio varia al variare di n e le sue variazioni diminuiscono al crescere del numero delle determinazioni stesse. Poiché non si può determinare la misura vera di una grandezza, è importante valutare l'ordine di grandezza degli errori casuali compiuti nella misurazione: bisogna distinguere se la misurazione è diretta o indiretta e se il numero delle determinazioni è sufficientemente elevato da permettere di applicare la teoria di Gauss o richiede l'applicazione di altri criteri. § Errori nella determinazione diretta della misura di una grandezza. A) Se il numero delle determinazioni non è molto elevato, per esempio minore di 100, si assume come errore assoluto della misura il valore assoluto della semidifferenza tra il valore massimo e il valore minimo tra quelli ottenuti:
; tale errore prende anche il nome di semidispersione; il valore della grandezza A è allora: a=ā±Δa, intendendo che il valore più probabile di A è ā e che Δa è l'errore massimo che si commette quando ad A si attribuisce il valore ā. B) Se il numero delle determinazioni è molto elevato si applica per la valutazione dell'errore la teoria di Gauss. Si chiama scarto εi la differenza εi=ai-ā tra la determinazione ai e il valore medio; spesso lo scarto viene chiamato impropriamente errore. Tali scarti, se gli errori sono accidentali, cioè distribuiti casualmente, risultano in parte positivi e in parte negativi e il loro numero è all'incirca uguale; inoltre risultano più numerosi gli scarti piccoli in valore assoluto e via via meno numerosi quelli più grandi. Essi si distribuiscono secondo la caratteristica curva a campana di Gauss, ottenuta riportando sull'asse delle ascisse gli scarti e su quello delle ordinate il loro numero. Il numero delle misure corrispondenti allo scarto ε=0 è il più grande, cioè sono più frequenti le misure uguali al valor medio. La curva risulta tanto più stretta quanto maggiore è la precisione del metodo e degli strumenti utilizzati; la teoria di Gauss ricava un'espressione matematica di questa curva e introduce il concetto di errore quadratico medio o deviazione standard, o meglio scarto quadrico medio:
, in cui n è il numero del- le determinazioni e Σε²i è la somma dei quadrati degli scarti. Il risultato della misurazione è espresso da a=ā±δ, intendendo con ciò che esiste una probabilità del 68% che il valore di una misura successiva sia compreso tra ā-δ e ā+δ. Qualunque sia il metodo per la determinazione dell'errore assoluto Δa o di δ, è più significativo conoscere l'errore relativo, definito come rapporto tra l'errore e il valor medio della grandezza: er=Δa/ā oppure δ/ā; l'errore relativo moltiplicato cento è l'errore percentuale. § Errori nella determinazione indiretta della misura di una grandezza. Se alla misura di una grandezza B si giunge mediante una formula in cui compaiono altre grandezze note o misurabili direttamente, per calcolare l'errore da cui è affetta B bisogna conoscere gli errori assoluti delle grandezze da cui dipende. Con una trattazione matematica rigorosa si ricava una formula generale (legge di trasmissione degli errori di Gauss) che esprime la dipendenza degli errori su B qualunque sia la sua dipendenza dalle altre grandezze. Questa formula, che in casi particolari assume un'espressione semplice, nella sua forma generale è data da:
... in cui ΔB è l'errore della grandezza B, f è la funzione B=f(x, y, z,...) e Δx, Δy, Δz sono gli errori delle grandezze x, y, z da cui dipendono attraverso la funzione f.
