birappòrto

sm. [bi-+rapporto]. In geometria analitica e proiettiva, birapporto (o doppio rapporto, o rapporto anarmonico) di quattro punti allineati A, B, C, D, disposti nella retta secondo l'ordine in cui sono scritti, è il numero k che esprime il valore del rapporto

dove con (ABC) si indica il rapporto semplice dei punti A, B, C, cioè:

in cui AC, BC indicano le distanze dei rispettivi punti, calcolate con un'unità di misura arbitraria e analogamente per (ABD). Il birapporto k si indica con il simbolo (ABCD). Se, in un arbitrario sistema di coordinate rettilinee, le coordinate dei quattro punti sono x_A, x_B, x_C, x_D, il birapporto si può esprimere nella forma

Modificando l'ordine in cui vengono presi i quattro punti, sono realizzabili 24 possibili permutazioni alle quali corrispondono, però, solo 6 distinti valori del birapporto in quanto si ha: (ABCD)= =(BADC)=(CDAB)=(DCBA)=k. Per i restanti cinque valori del birapporto valgono le eguaglianze: . Nel caso in cui (ABCD)=(ABDC) il birapporto vale -1 (si esclude il caso k=1, in quanto allora due dei quattro punti coinciderebbero) e i quattro punti allineati costituiscono un gruppo detto gruppo o quaterna armonica. Il concetto di birapporto si estende a un fascio di rette complanari per le quali si definisce:

in cui &, ', (, ), rappresentano gli angoli tra le corrispondenti rette. È alla base della geometria proiettiva il teorema che afferma che per una qualsiasi retta che tagli le quattro rette a, b, c, d in quattro punti A, B, C, D si ha (ABCD)=(abcd). Si può infine osservare che mentre le affinità conservano invariato il rapporto semplice, ma non il birapporto, le proiettività conservano il birapporto: anzi, tale proprietà è caratteristica delle proiettività e può costituirne una definizione.