statìstìco

Lessico

agg. (pl. m. -ci) [sec. XIX; da statista]. Propr., relativo alla vita dello Stato e quindi della collettività. Per estens., comune, proprio della statistica: dati statistici, ricerche statistiche; meccanica statistica (o statistica, sf.), studio del comportamento globale (s.) di un gran numero di particelle; le leggi dedotte per questa via descrivono gli stati del sistema in senso probabilistico, in funzione delle proprietà medie del complesso. La meccanica statistica classica, o statistica di Maxwell-Boltzmann, basa le sue considerazioni sulla validità delle leggi della meccanica classica a livello delle singole particelle; la meccanica statistica quantistica tiene conto dei limiti imposti a tale livello a queste leggi, in particolare tiene conto del principio di indeterminazione.

Fisica: meccanica statistica classica

La meccanica statistica è un esempio importante di come sia stato possibile ridurre un ramo della fisica, la termodinamica, a un altro più fondamentale, e cioè la meccanica applicata agli atomi e alle molecole. I sistemi di cui si occupa la termodinamica sono costituiti da un numero di componenti (atomi o molecole) dell'ordine del numero di Avogadro (6×10^a2). Descrivere il sistema attraverso il comportamento di ogni singolo componente sarebbe non solo ovviamente impossibile, ma soprattutto completamente inutile. Studiando le proprietà meccaniche generali si è scoperto che alcune grandezze medie erano associate a grandezze già introdotte fenomenologicamente in termodinamica. Per esempio l'energia meccanica media della molecola è legata alla temperatura, introdotta in termodinamica. Le grandezze statistiche si differenziano da quelle termodinamiche perché in esse compare la ricerca non solo dei valori medi, ma anche e fondamentalmente della dispersione intorno al valore medio delle grandezze che definiscono lo stato dei sistemi. La meccanica statistica ebbe inizio con lo scritto di Maxwell del 1859 in cui è trattato il problema della descrizione dello stato di equilibrio di un gas racchiuso in un recipiente e sottratto a ogni azione esterna. Partendo dall'ipotesi che nello stato di equilibrio il numero di molecole dotate di una data velocità sia costante nel tempo e che l'equilibrio provenga da un continuo prodursi di urti fra molecole trattabili come corpi elastici, Maxwell trovò che condizione sufficiente per lo stabilirsi dello stato di equilibrio (stato stazionario) è che il numero di molecole dn che hanno componenti di velocità comprese negli intervalli (v_x, v_x+dv_x), (v_y, v_y+dv_y), (v_z, v_z+dv_z) sia dato da un'espressione del tipo

che rappresenta la cosiddetta distribuzione di Maxwell e dove a e b sono due costanti positive dipendenti dallo stato fisico del gas. Nel caso di un gas monoatomico in cui ogni molecola ha 3 gradi di libertà e in cui n sia il numero totale di molecole ed E l'energia totale (puramente cinetica), si ha , indicando con ε l'energia media per molecola e per ciascun grado di libertà; se m è la massa di una molecola, le costanti a, b assumono la forma

L. Boltzmann completò l'opera di Maxwell (donde la denominazione di statistica di Maxwell-Boltzmann) nell'ambito degli studi sulla teoria cinetica dei gas, dimostrando che la distribuzione di Maxwell è anche condizione necessaria per lo stato stazionario (stato di Maxwell). Le dimostrazioni vengono impostate introducendo il cosiddetto spazio delle fasi S₆ a 6 dimensioni, in cui ciascuna molecola dell'insieme è rappresentata dal complesso di 6 coordinate x, y, z (coordinate spaziali) e mV_x, mV_y, mV_z (componenti della quantità di moto). Suddivisa la regione di S₆ in cui è rappresentato il gas in celle elementari di ampiezza sufficiente per un discorso statistico sui punti in esse contenuti, ma piccole abbastanza perché 2 molecole non siano sperimentalmente distinguibili, si cerca in esse la distribuzione di velocità. Boltzmann cercò di stabilire inoltre che è elevatissima la probabilità che un sistema in uno stato non maxwelliano evolva spontaneamente in uno stato maxwelliano. Pertanto la distribuzione di Maxwell rappresenta la condizione limite cui tende ogni altra distribuzione di velocità: lo stato stazionario è anche lo stato più probabile. Contro quest'ultimo lavoro di Boltzmann sono sorte molte obiezioni; fra queste quella sostanziale è che Boltzmann volle giustificare un processo irreversibile (da stato non maxwelliano a stato maxwelliano) con principi reversibili quali i postulati fondamentali della dinamica. Conseguenza significativa dell'applicazione della distribuzione di Maxwell-Boltzmann è il fatto che la temperatura assoluta T di un gas, come definita in termologia, è ridefinibile in termini di energia cinetica media ε, per ogni grado di libertà; infatti risulta T proporzionale a ε.

Fisica: meccanica statistica quantistica

Metodo statistico di descrizione dello stato di un sistema costituito da numerosi enti che ubbidiscono alle leggi della meccanica quantistica come i gas di elettroni. Le statistiche quantistiche si differenziano dalla statistica di Maxwell-Boltzmann non solo perché le grandezze fisiche come l'energia possono assumere solo valori discreti, ma principalmente per i motivi seguenti: la cella nello spazio delle fasi che nella statistica di Maxwell-Boltzmann ha dimensioni largamente arbitrarie ora assume un volume determinato dal principio di indeterminazione di Heisenberg secondo il quale se si misurano contemporaneamente la coordinata spaziale q e la quantità di moto p di un corpuscolo si commettono gli errori Δq e Δp il cui prodotto non può essere inferiore a un limite noto a priori: ΔqΔp≥h, con h costante di Planck. Se il corpuscolo è individuato dalle tre coordinate x, y, z e dalle tre corrispondenti componenti della quantità di moto mV_x, mV_y, mV_z le tre disuguaglianze di Heisenberg che legano l'errore in coordinate al corrispondente errore in quantità di moto indicano che il punto rappresentativo nello spazio delle fasi è indeterminato entro un parallelepipedo il cui volume è dell'ordine di h³: questo quindi dovrà essere il volume delle celle elementari. L'impossibilità di individuare i corpuscoli e distinguerli l'uno dall'altro non è solo pratica ma anche teorica. Questo porta a una diversa valutazione della probabilità di occupazione delle celle. Si supponga di dover distribuire 2 corpuscoli a, b in 2 celle uguali A e B. Boltzmann considera equiprobabili 4 casi ciascuno con probabilità 1/4: a, b in A; a, b in B; a in A b in B; a in B b in A. Siccome a e b sono praticamente non distinguibili, Boltzmann riunisce gli ultimi 2 casi in uno solo che ha probabilità 1/2. Per la nuova statistica, invece, i due ultimi casi non sono diversi nemmeno teoricamente perché non è pensabile un'esperienza che porti a distinguere fra il 3º e il 4º caso. Le possibilità ugualmente probabili sono tre, ciascuna con probabilità di 1/3. La validità o meno del principio di esclusione di Pauli determina per ciascuno stato fisico il grado di possibile degenerazione dello stesso (cioè il numero di particelle che possono occupare ciascuna cella elementare): conseguentemente sono stati formulati due tipi di statistiche quantistiche. La prima, detta statistica di Bose-Einstein, è adatta a particelle non soggette al principio di Pauli, dette poi bosoni. In ciascuna cella elementare possono trovarsi da nessuna a tutte le particelle del gas. Si ottiene che il numero n_i dei corpuscoli che nello stato stazionario posseggono energia ε è dato da , dove α e β sono due costanti >0 dipendenti dallo stato del gas e g_i è il numero di celle di livello energetico ε occupate dal gas in esame (S. N. Bose). La seconda, detta statistica di Fermi-Dirac, è adatta a particelle soggette al principio di esclusione di Pauli, dette poi fermioni. In ciascuna cella elementare può trovarsi una sola o nessuna particella. Il numero n_i di particelle nello stato stazionario con energia ε è dato da , dove i simboli hanno lostesso significato di quelli della formula precedente. Fra le statistiche quantistiche si include anche la formula quantistica di Boltzmann che costituisce il caso limite a cui tendono le due precedenti al crescere dell'energia. Per valori elevati di ε si ottiene, infatti, , dove C=e^-α è una costante per il gas, che costituisce l'estensione ai sistemi quantistici della formula di Maxwell-Boltzmann.

Fisica: classificazione delle particelle

Per quanto riguarda la classificazione delle particelle, sono bosoni tutte le particelle di sistemi caratterizzate da autofunzioni simmetriche rispetto allo scambio reciproco delle coordinate di posizione e di spin di due particelle qualsiasi, mentre sono fermioni tutte le altre. In altri termini, sono bosoni le particelle con spin intero e fermioni quelle con spin semintero. Sono pertanto bosoni i nuclei contenenti un numero pari di nucleoni, mentre non lo sono quelli che ne contengono un numero dispari. Considerando come particelle il fotone e il gravitone, che sono i quanti rispettivamente del campo elettromagnetico e del campo gravitazionale, anche queste, come il mesone π, quanto del campo nucleare, sono bosoni. Sono altresì bosoni i restanti mesoni. Sono invece fermioni il nucleone e tutte le altre particelle della categoria dei barioni e della categoria dei leptoni (neutrino, elettrone, muone).