quaternióne
Indice
Lessico
sm. [sec. XIX; dal latino tardo quaternío-ōnis, propr., gruppo di quattro elementi].
1) In bibliografia, il fascicolo di 4 carte nel libro manoscritto; anche il foglio di stampa su cui sono impresse 8 pagine.
2) Medaglione d'oro, o quadruplo dell'aureo, emesso per la prima volta da Augusto. Si conoscono inoltre quaternioni di Domiziano, Eliogabalo, Gallieno. Si dissero quaternioni anche i multipli del denario d'argento.
3) In matematica, numeri a quattro unità (detto anche quaternione di Hamilton), che costituiscono un ampliamento del campo complesso.
Matematica
Chiamate l, i, j, k le quattro unità, un quaternione è una scrittura della forma:
dove a(i=1, 2, 3, 4) è un numero reale, componente i-ma del quaternione a. Tra q. si introducono un'addizione e una moltiplicazione. L'addizione tra q. avviene formalmente come l'addizione tra polinomi (nelle indeterminate i, j, k). Un numero reale, a₁=a₁∤l, è permutabile con un quaternione e il loro prodotto si ottiene applicando la proprietà distributiva, ancora una volta, come se si moltiplicasse un numero reale per un polinomio. Per ottenere il prodotto di due quaternioni, a e b, si procede così: si applica la proprietà distributiva (come se si trattasse di polinomi), si eseguono i prodotti tra le unità i, j, k con le seguenti regole:
mentre: j∤i=-k, k∤j=-i, i∤k=-j (un tale prodotto tra unità è anche detto anticommutativo). Si dimostra che in questo modo l'insieme Q dei quaternioni si trasforma in un corpo, evidentemente non commutativo. W. R. Hamilton sviluppò il calcolo dei quaternioni tra il 1853 e il 1865 anche in vista di applicazioni alla meccanica. L'importanza dei quaternioni concerne però i fondamenti della matematica, in quanto si può dimostrare che si tratta della sola possibilità di costruire un corpo, che abbia una base finita (come spazio vettoriale rispetto all'addizione) e che contenga il campo complesso. Se come coefficienti ai nel quaternione a si prendono elementi di un campo K scelto a piacere, si ottiene sempre un anello, ma non sempre un corpo (vedi anche numero).