proiettività

sf. [da proiettivo]. Trasformazione geometrica che conserva il birapporto: è, cioè, una corrispondenza biunivoca tra forme di prima specie tale che il birapporto tra due qualsiasi quaterne omologhe in detta corrispondenza sia lo stesso. Figure corrispondentisi in una proiettività si dicono proiettive. Questa definizione, dovuta a Charles, è equivalente a quella di Poncelet: due forme di prima specie sono tra loro proiettive, cioè si corrispondono in una proiettività, quando possono ottenersi una dall'altra attraverso una successione di operazioni di proiezione e di sezione. La definizione di Poncelet ha il vantaggio di presentare una proiettività tra forme di prima specie come prodotto di prospettività. Una proiettività tra due forme di specie superiore alla prima è una corrispondenza biunivoca tra esse che subordina una proiettività tra le forme di prima specie contenute rispettivamente nelle due forme date e corrispondenti. Le proiettività, che si possono ottenere con operazioni di proiezione e sezione, prendono anche il nome di collineazioni per quanto questo termine sia usato più frequentemente per indicare la corrispondenza biunivoca di un piano proiettivo in sé che muta punti in punti e rette in rette conservando l'appartenenza. In uno spazio proiettivo a n dimensioni, una proiettività ha equazioni

con la condizione che la matrice |a|, con 0≤i≤n, 0≤j≤n, sia non degenere. Per le proiettività sussiste il teorema fondamentale delle proiettività: esiste una e una sola proiettività di uno spazio proiettivo numerico a n dimensioni che a n+2 punti, a n+1 e a n+1 non giacenti su uno stesso iperpiano, faccia corrispondere n+2 punti con la stessa proprietà. Sono dette proiettività ellittica,proiettività iperbolica,proiettività parabolica, proiettività tra due forme di prima specie che, rispettivamente, non ammette punti uniti, ovvero ne ammette due, ovvero uno solo. Nel caso della proiettività iperbolica il valore del birapporto formato da due punti corrispondenti e dai due punti uniti prende il nome di caratteristica della proiettività.