interpretazióne (matematica)

assegnazione di significato ai termini o alle formule di un dato linguaggio o sistema formale. Questa accezione generale si può specificare in due modi, uno sintattico e uno semantico. La nozione semantica di interpretazione è quella più propria. Dato un linguaggio formale L, per esempio del primo ordine, avremo formule del tipo A(t₁,..., t) e loro combinazioni con connettivi r quantificatori. Un'interpretazione di L sarà data una volta che: sia assegnato un insieme, detto dominio di interpretazione, come universo di discorso e che contenga gli oggetti di cui il linguaggio parla; a ogni costante individuale del linguaggio si associ un individuo del dominio di cui essa è nome; a ogni costante predicativa a n posti si associ una relazione a n posti definita sul dominio. Così assegnati significati alle espressioni del linguaggio, ogni formula si potrà leggere come una proposizione che afferma qualche cosa sul dominio dato. Procedendo, si può definire cosa si intende per formula vera per l'interpretazione data. Analogamente, si può anche parlare di interpretazione semantica di una teoria, intendendo con questa ogni interpretazione delle f formule della teoria stessa. La nozione semantica si può simulare con metodi sintattici. Si ha così il concetto di interpretazione di una teoria in un'altra. A ogni formula della teoria T se ne associa una della teoria T´. L'associazione di una formula di T´ a una di T deve rispondere a particolari condizioni. Senza entrare nei dettagli di queste condizioni, occorre che: a ogni costante individuale del linguaggio di T si associ un termine di T´; a ogni costante predicativa a n posti si associ una formula con n variabili libere; per ogni connettivo e quantificatore si abbia che: ρ(A ∙ B) = ρ(A) ∙ (B); ρ(Q × A) = Q × ρ(A), dove ρ di A indica la formula corrispondente di A, ∙ un qualsiasi connettivo e Q un quantificatore. Il concetto di interpretazione sintattica è legato a quello di interpretazione semantica nel senso che dove nella seconda si assegnano a delle espressioni individui, predicati o valori di verità, nella prima si assegnano termini, formule con variabili libere e formule che sono i corrispettivi sintattici delle prime. L'uso delle interpretazioni è essenziale nel dimostrare importanti proprietà delle teorie.