integrazióne (matematica)

operazione detta integrazione differenziale, inversa della derivazione, consistente nel determinare il valore di una grandezza come calcolo di un integrale definito di una funzione o di un'equazione differenziale. § Integrazione numerica, determinazione approssimata del valore numerico di un integrale mediante calcolo di un'espressione del tipo:

in cui la sommatoria rappresenta il valore approssimato dell'integrale, e è l'errore commesso nell'approssimazione e gli n punti x sono scelti opportunamente nell'intervallo di integrazione, così come opportunamente sono scelte le n costanti h, dette pesi. Una delle formule usate nell'integrazione numerica è quella di Cavalieri-Simpson:

In questo caso l'intervallo di integrazione è stato suddiviso in 2n intervalli uguali e i loro estremi sono a,x₁,x₂,...,x₂_{- ₁},b. L'importanza dei metodi di integrazione numerica consiste soprattutto nel fatto che essi sono generalmente usati per il calcolo di integrali con elaboratori numerici. § Integrazione grafica, metodo grafico che consente di determinare l'integrale definito di una funzione y = y(x) rappresentata graficamente. Data la curva corrispondente, l'intervallo di integrazione x₁,x₂ viene suddiviso in intervalli minori a₁,a₂,...,a (nell'esempio è n = 5), non necessariamente eguali. Le corrispondenti ordinate alle mezzerie di ciascun intervallo vengono proiettate da un punto P, sull'asse x, su una retta perpendicolare all'asse delle x in H₁, H₂,...,H₅; indi si traccia la spezzata T₀T₁T₂...T₅, della quale i singoli segmenti T₀T₁, T₁T₂,...,T₄T₅ sono rispettivamente paralleli ai segmenti PH₁, PH₂,...,PH₅. Dall'ordinata y₅ del punto T₅ si ricava l'integrale cercato, che è

quando p viene letto nella scala delle ascisse e y₅ nella scala delle ordinate, o viceversa. Il metodo è tanto più preciso quanto più elevato è il numero delle suddivisioni, poiché l'integrale viene calcolato come

essendo y l'ordinata in mezzeria di ciascun intervallo a. § Per costante di integrazione, regole di integrazione e limiti di integrazione di una funzione, vedi integrale. Per l'integrazione di un'equazione differenziale, vedi equazione.