finitismo

sm. [sec. XX; da finito]. Nella logica contemporanea e in particolare nella problematica relativa ai fondamenti della matematica, il finitismo rappresenta un momento della più ampia corrente di pensiero che va sotto il nome di costruttivismo. Ora, mentre il costruttivismo poneva quale condizione irrinunciabile che gli enti matematici fossero costruibili, il finitismo pone una limitazione più forte, richiedendo che i procedimenti di definizione e di dimostrazione siano delimitati al finito. Una tale posizione fu assunta da D. Hilbert, nella speranza che questa consentisse di dare una soluzione definitiva ai problemi dei fondamenti, senza che per altro desse una rigorosa definizione di dimostrazione finitista. Spetta al logico francese Herbrand l'aver espresso con rigore questa posizione. Egli respinse l'uso dell'induzione completa e condizionò l'uso dell'aritmetica al fatto che questa sia formulata in un linguaggio senza operatori di generalizzazione, cioè dei quantificatori, e con uno schema di induzione limitata a formule prive quindi di quantificatori. Herbrand condizionava la validità dei metodi finitisti nel modo seguente: ci si deve limitare a un numero finito e determinato di elementi e funzioni definiti in modo effettivo. Non si può affermare l'esistenza di un ente se non si è in grado di indicare come costruirlo, né è possibile operare con l'insieme di tutti gli elementi di una totalità infinita. Da ultimo, quando si asserisce la validità di un teorema per tutti gli elementi di un insieme di enti, ciò va inteso nel senso che per ogni singolo elemento sia possibile ripetere il ragionamento generale che va comunque considerato come un esempio dei vari singoli ragionamenti. Il finitismo risultò inadeguato al compito propostosi, come mostrò il teorema di Gödel nel 1931, ma fu un momento significativo nell'ambito della teoria della dimostrazione per aver evidenziato tutta una serie di problemi relativi.