endomorfismo

sm. [sec. XIX; endo-+-morfismo]. Rappresentazione di una struttura algebrica in se stessa, che conserva le operazioni. Nel caso in cui la struttura algebrica sia un gruppo G con un'operazione indicata con il simbolo +, un endomorfismo del gruppo G è quindi una legge φ che associa a ogni elemento a di G un elemento φ(a) di G in modo tale che sia conservata l'operazione di somma; per ogni coppia di elementi a, b di G, si deve quindi avere φ(a+b)=φ(a)+φ(b). Per esempio, il passaggio da un numero intero al suo doppio è un endomorfismo del gruppo additivo degli interi, perché il doppio della somma è la somma del doppio. Nel caso di un anello A con le operazioni che indichiamo con il simbolo di somma + e di prodotto ∤, un endomorfismo dell'anello A, è una legge che, oltre a conservare l'operazione di somma, conserva l'operazione di prodotto. Nel caso di uno spazio vettoriale E su un campo K, un endomorfismo dello spazio vettoriale E, è una legge che, oltre a conservare l'operazione di somma, conserva l'operazione di moltiplicazione per uno scalare; per ogni vettore v di E e per ogni scalare k di K, si deve quindi avere φ(kv)=kφ(v). L'insieme End(E) degli endomorfismi di uno spazio vettoriale E su un campo K ha una struttura di algebra su K. Le operazioni definite in End(E) sono la somma tra endomorfismi, la moltiplicazione di un endomorfismo per uno scalare e la composizione tra endomorfismi. Se lo spazio vettoriale E ha dimensione finita, fissata una base di E, si associa a ogni endomorfismo di E una matrice quadrata di ordine uguale alla dimensione dello spazio vettoriale. Si ha così un isomorfismo tra l'algebra End(E) e l'algebra delle matrici quadrate a coefficienti nel campo K. La somma tra endomorfismi corrisponde alla somma tra matrici, la moltiplicazione di un endomorfismo per uno scalare corrisponde alla moltiplicazione di una matrice per uno scalare, la composizione di endomorfismi corrisponde alla moltiplicazione righe per colonne tra matrici. Da ciò segue che la teoria degli endomorfismi di uno spazio vettoriale è legata alla teoria delle matrici quadrate.