Prodotto scalare e prodotto vettoriale

La moltiplicazione applicata al calcolo vettoriale non si riduce unicamente al prodotto fra uno scalare e un vettore. Essa, infatti, contempla anche altre due forme di prodotto, concettualmente più complicate da definire, ma facilmente rappresentabili dal punto di vista grafico, dette prodotto scalare e prodotto vettoriale. In entrambi i casi, i termini dell'operazione sono sempre vettori, ma nel primo prodotto la risultante ha natura scalare, nel secondo vettoriale.

Il prodotto scalare fra due vettori A e B, indicato come A·B (si legge "A scalare B"), viene definito come uno scalare dato dal prodotto fra il modulo di A e la proiezione di B nella direzione di A. Trigonometricamente, viene definito come lo scalare R dato dal prodotto fra il modulo dei due vettori e il coseno dell'angolo compreso tra le direzioni dei due vettori:

R = A·B = AB cos θ AB

Il prodotto vettoriale tra due vettori A e B, indicato come AB (si legge "A vettore B"), viene definito come il vettore R avente modulo pari all'area del parallelogramma di cui A e B sono i lati, direzione perpendicolare al piano del parallelogramma e verso dalla parte della testa di un osservatore che, posto in piedi sul piano che contiene il parallelogramma, vede A sovrapporsi a B ruotando in senso antiorario. Trigonometricamente, il modulo R può anche essere definito come dato dal prodotto fra il modulo dei due vettori e il valore del seno dell'angolo compreso fra le direzioni dei due vettori:

R = AB = AB sen θ AB