àngolo (geometria)

ciascuna delle regioni del piano compresa tra due semirette aventi la stessa origine. È detto più esattamente angolo piano; analogamente, nello spazio, si parla di angolo solido.

Angolo piano

L'origine delle semirette che delimitano l'angolo si dice vertice dell'angolo, le semirette stesse lati dell'angolo, l'insieme dei lati contorno dell'angolo; un segmento che abbia gli estremi sui lati dell'angolo è detto corda dell'angolo. "Per la corda dell'angolo vedi disegno al lemma del 2° volume." "Per la corda dell'angolo vedi il disegno a pg. 137 del 2° volume." Si distingue tra angolo concavo e angolo convesso: un angolo è concavo quando contiene i prolungamenti dei suoi lati, convesso quando non li contiene. Pertanto, due semirette con la stessa origine delimitano due angoli, uno concavo e uno convesso, entrambi contrassegnati con il simbolo AÔB se i lati sono ŌĀ e ŌB "Per l'angolo concavo e convesso vedi il disegno a pg. 137 del 2° volume." . "Per l'angolo concavo e convesso vedi disegno al lemma del 2° volume." Oltre che con questa notazione, in cui A e B sono due punti qualsiasi dei lati, un angolo si può indicare con una lettera greca minuscola, per esempio α, β, oppure con il simbolo !̂" in cui ! e indicano le semirette che costituiscono i lati dell'angolo. Nel caso che le due semirette, sempre con la stessa origine, siano parti di una stessa retta, il piano resta diviso in due semipiani ognuno dei quali è detto angolo piatto. Altro caso eccezionale si ha quando i due lati dell'angolo coincidono: si parla allora di angolo giro "Per l'angolo giro vedi il disegno a pg. 137 del 2° volume." . "Per l'angolo giro vedi disegno al lemma del 2° volume." Due angoli si dicono uguali quando sono sovrapponibili, cioè esiste un movimento che porta a coincidere i vertici e i lati dei due angoli. Un esempio di angoli uguali si ha considerando gli angoli opposti al vertice, cioè quegli angoli tali che i lati dell'uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro "Per gli angoli opposti al vertice vedi il disegno a pg. 137 del 2° volume." . "Per gli angoli opposti al vertice vedi disegno al lemma del 2° volume." Ogni AÔB si può sempre dividere in due angoli uguali, mediante una semiretta ŌM che dicesi bisettrice dell'angolo "Per la bisettrice dell'angolo vedi disegno al lemma del 2° volume." "Per la bisettrice dell'angolo vedi il disegno a pg. 137 del 2° volume." . Due angoli si dicono consecutivi quando hanno un lato in comune e gli altri due lati da parti opposte rispetto a esso. Si dice somma di due angoli consecutivi l'angolo formato dai due lati non comuni e a cui appartiene il lato comune "Per la somma di due angoli consecutivi vedi il disegno a pg. 137 del 2° volume." . "Per la somma di due angoli consecutivi vedi disegno al lemma del 2° volume." Ne consegue che la somma di due angoli AÔB e A´Ô´B´ non consecutivi è l'angolo AÔC che si ottiene disponendo consecutivo ad AÔB un angolo BÔC=A´Ô´B´. Sommando due angoli è possibile che si venga a coprire, come si suol dire, l'intero piano, cioè che la somma sia un angolo giro: i due angoli sono allora detti replementari "Per gli angoli replementari vedi il disegno a pg. 137 del 2° volume." . "Per gli angoli replementari vedi disegno al lemma del 2° volume." Ma se vogliamo che la somma sia sempre possibile, dobbiamo estendere il concetto di angolo. Infatti può benissimo accadere che sommando due angoli si venga a coprire il piano più di una volta. In questo caso diremo che tale somma è maggiore di un angolo giro. Gli angoli che sono maggiori o uguali a un angolo giro si dicono angoli impropri. Chiameremo invece angoli propri gli angoli convessi, concavi e piatti che sono parte di un piano. Se diciamo adiacenti (si trova però talvolta il termine adiacente usato come sinonimo di consecutivo) due angoli aventi un lato e il vertice in comune e gli altri due lati formanti una retta, vediamo che la loro somma è un angolo piatto. Poiché due angoli vengono detti supplementari se la loro somma è un angolo piatto, ne segue che due angoli adiacenti sono sempre supplementari "Per gli angoli supplementari vedi il disegno a pg. 137 del 2° volume. " . "Per gli angoli supplementari vedi disegno al lemma del 2° volume." Dati due angoli disuguali, dicesi loro differenza quel terzo angolo che addizionato al minore dà per somma il maggiore; due angoli si dicono explementari se la loro differenza è uguale a un angolo piatto "Per gli angoli explementari vedi il disegno a pg. 137 del 2° volume." . "Per gli angoli explementari vedi disegno al lemma del 2° volume." Un angolo si può pensare descritto da una semiretta mobile ! avente per origine il vertice dell'angolo, che partendo dalla posizione in cui coincide con il lato dell'angolo considerato per primo, ruotando attorno al vertice in un determinato verso, viene a sovrapporsi al secondo lato dell'angolo. Allora se conveniamo di chiamare angolo nullo quell'angolo che ha i lati coincidenti, senza che siano stati descritti da una semiretta, abbiamo che la differenza di angoli uguali è l'angolo nullo. Un angolo AÔB è minore di un angolo A´Ô´B´, se, sovrapponendo AÔB a A´Ô´B´, in modo che i due vertici coincidano e coincidano, per esempio, ŌĀ e Ō´Ā´, ŌB cade all'interno dell'angolo A´Ô´B´. AÔB è invece maggiore di A´Ô´B´, se sovrapposti i due angoli in modo analogo a quanto fatto prima, ŌB cade all'esterno di A´Ô´B´. Quando due rette si tagliano formando quattro angoli uguali ciascuno degli angoli è detto retto; tutti gli angoli retti sono uguali. Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto, ottuso se è maggiore di un angolo retto. Inoltre due angoli sono detti complementari se la loro somma è un angolo retto "Per gli angoli complementari vedi il disegno a pg. 137 del 2° volume." . "Per gli angoli complementari vedi disegno al lemma del 2° volume." Se si prendono due rette a e b qualsiasi, tagliate da una trasversale c si possono considerare gli angoli che così si formano (numerati dall'1 all'8) "Per gli angoli formati da rette parallele tagliate da una trasversale vedi il disegno a pg. 138 del 2° volume." , "Per gli angoli formati da rette parallele tagliate da una trasversale vedi disegno al lemma del 2° volume." per i quali si adotta la seguente nomenclatura: gli angoli 2 e 7, 5 e 4 sono detti alterni interni; gli angoli 1 e 8, 3 e 6 sono detti alterni esterni; gli angoli 4 e 7, 2 e 5 sono detti coniugati interni; gli angoli 1 e 6, 3 e 8 sono detti coniugati esterni; gli angoli 1 e 5, 3 e 7, 2 e 6, 4 e 8 sono detti corrispondenti. Se le due rette a e b sono parallele si dimostra facilmente che: gli angoli alterni sono uguali "Per gli angoli alterni vedi il disegno a pg. 138 del 2° volume." ; "Per gli angoli alterni vedi disegno al lemma del 2° volume." gli angoli coniugati sono supplementari "Per gli angoli coniugati vedi il disegno a pg. 138 del 2° volume." ; "Per gli angoli coniugati vedi disegno al lemma del 2° volume." gli angoli corrispondenti sono uguali "Per gli angoli corrispondenti vedi il disegno a pg. 138 del 2° volume." . "Per gli angoli corrispondenti vedi disegno al lemma del 2° volume." Se si assegna agli angoli, immaginati descritti dalla rotazione di uno dei lati, un verso di percorrenza nel piano, si considereranno uguali, ma di segno opposto, i due angoli AÔB e BÔA; il primo va pensato come descritto dalla semiretta ŌĀ che si muove fino a sovrapporsi alla ŌB, il secondo come descritto, in verso opposto, dalla ŌBche ruota fino a coincidere con la ŌĀ. Se si fissa come verso positivo quello antiorario, cioè quello opposto al movimento delle lancette di un orologio, l'angolo AÔB sarà positivo o negativo a seconda che, per ricoprirlo, la semiretta ŌĀ debba muoversi in verso antiorario oppure orario. Gli angoli uguali con i lati corrispondenti orientati nello stesso verso sono detti concordi, in verso opposto discordi "Per gli angoli concordi e discordi vedi il disegno a pg. 138 del 2° volume." . "Per gli angoli concordi e discordi vedi disegno al lemma del 2° volume." È così possibile definire senza ambiguità l'angolo tra due rette orientate, r e s, da indicarsi con r̂s, come l'angolo che la semiretta ŌĀdella r uscente dal punto O comune alle due rette e orientata come la r, forma con la semiretta ŌB della s scelta in modo analogo, quando ŌĀ si sovrappone a ŌB ruotando nel verso fissato come positivo "Per l'angolo positivo vedi il disegno a pg. 138 del 2° volume." . "Per l'angolo positivo vedi disegno al lemma del 2° volume." In un poligono, sono detti angoli interni gli angoli formati da due lati consecutivi del poligono; angoli esterni gli angoli formati da un lato e dal prolungamento di un lato consecutivo "Per gli angoli esterni vedi il disegno a pg. 138 del 2° volume." . "Per gli angoli esterni vedi disegno al lemma del 2° volume." In un cerchio, sono detti angoli al centro gli angoli che hanno il vertice nel centro della circonferenza; angoli alla circonferenza gli angoli il cui vertice sta sulla circonferenza "Per l'angolo alla circonferenza vedi il disegno a pg. 138 del 2° volume." . "Per l'angolo della circonferenza vedi disegno al lemma del 2° volume." Nello spazio, l'angolo tra due rette sghembe, cioè né parallele né intersecantesi, è l'angolo formato da una di esse con una parallela all'altra che la intersechi "Per l'angolo tra due rette sghembe vedi il disegno a pg. 138 del 2° volume." ; "Per l'angolo tra due rette sghembe vedi disegno al lemma del 2° volume." l'angolo di una retta con un piano è l'angolo formato dalla retta con la sua proiezione ortogonale sul piano "Per l'angolo di una retta con un piano vedi il disegno a pg. 138 del 2° volume." ; "Per l'angolo di una retta con un piano vedi disegno al lemma del 2° volume." l'angolo tra due piani è l'angolo tra le due normali; quindi diventa “normale” ai piani in un punto comune (l'angolo tra due piani paralleli è nullo), tale angolo coincide con l'angolo che si ottiene intersecando i due piani con un piano perpendicolare alla retta di intersezione tra i due piani; l'angolo tra due curve è l'angolo formato dalle tangenti in un punto comune alle due curve; in particolare, l'angolo sferico è l'angolo formato da due archi di circonferenza tracciati su una sfera "Per l'angolo sferico vedi il disegno a pg. 138 del 2° volume." (vedi trigonometria sferica).

Angolo solido

Ciascuna porzione di spazio compresa tra le semirette con origine in un punto O e passanti per il contorno di una data porzione δ di superficie sferica con centro in O "Per lo sterangolo vedi il disegno a pg. 138 del 2° volume." ; è detto anche sterangolo. Corrispondentemente, per angolo visuale sotto il quale è visto un corpo da un punto O si intende l'angolo solido con centro in O e le cui semirette, costituenti un cono indefinito, inviluppano il corpo. L'ampiezza dell'angolo solido è definita dal rapporto tra la superficie sferica δ e il quadrato del raggio r della calotta alla quale la superficie appartiene; tale ampiezza è uguale a quella che si otterrebbe tagliando l'angolo solido con una qualsiasi sfera con centro in O. Un caso particolare di angolo solido è costituito dall'angoloide, definito come la porzione di spazio limitata da tre o più angoli piani aventi lo stesso vertice, posti in piani differenti e tali che ognuno dei lati sia comune a due angoli e il piano di ciascuno di essi lasci tutti gli altri da una stessa banda. Se AÔB, BÔC, ..., EÔF, FÔA sono gli angoli che delimitano l'angoloide, allora questo si indicherà con ÔABC ... EF. Gli angoli piani si dicono facce, il vertice comune vertice, i lati dei vari angoli piani spigoli o costole dell'angoloide; la totalità delle facce costituisce la superficie dell'angoloide. Se le facce sono tutte uguali l'angoloide si dice regolare. Se l'angoloide è individuato da n facce, si chiama n-edro; in particolare, il triedro è un angoloide con tre facce. Per gli angoloidi sussistono i seguenti teoremi: una faccia è minore della somma di tutte le altre; la somma delle facce è minore di 4 retti "Per l'angoloide vedi il disegno a pg. 138 del 2° volume." . Si possono avere angoloidi concavi, convessi, intrecciati. Un particolare e importante tipo di angoloide (e quindi anche di angolo solido) è l'angolo diedro, o diedro, definito come ciascuna porzione di spazio compresa tra due semipiani (facce del diedro); la retta comune ai due semipiani è detta costola o spigolo del diedro. L'ampiezza dell'angolo diedro è data dall'ampiezza dell'angolo che si ottiene tagliando il diedro con un piano perpendicolare allo spigolo "Per gli angoli solidi vedi il disegno a pg. 138 del 2° volume." . "Per gli angoli solidi vedi disegno al lemma del 2° volume."

Metrologia

L'angolo piano e l'angolo solido sono le due grandezze supplementari del Sistema Internazionale (SI) i cui simboli sono rispettivamente φ e Ω. Le corrispondenti unità di misura sono il radiante (simbolo rad) e lo steradiante (simbolo sr) definiti come segue: radiante è l'angolo piano che intercetta, su una circonferenza qualsiasi con centro nel vertice dell'angolo, un arco di lunghezza uguale a quella del raggio della circonferenza stessa "Per il radiante vedi il disegno a pg. 138 del 2° volume." . "Per il radiante vedi disegno al lemma del 2° volume." Un angolo giro ha pertanto ampiezza uguale a 2π, numero che esprime il rapporto tra la lunghezza della circonferenza con vertice nell'angolo e il raggio della circonferenza stessa. Lo steradiante è definito come l'angolo solido che intercetta, su una sfera con centro nel vertice dell'angolo e raggio qualsiasi, una calotta sferica di area uguale a quella di un quadrato avente lato uguale al raggio della sfera stessa. Come unità di misura degli angoli piani sono anche usate, al di fuori del Sistema Internazionale, ma transitoriamente tollerate, l'angolo giro, o giro, definito come l'angolo al centro in una circonferenza che intercetta l'intera circonferenza stessa; l'angolo retto, definito come la quarta parte dell'angolo giro; il grado centesimale (simbolo ^g), definito come la 400-esima parte dell'angolo giro. È anche molto usato, unità anch'essa tollerata, il grado sessagesimale, o nonagesimale (simbolo º), definito come la 360-esima parte dell'angolo giro, con i suoi sottomultipli, il minuto (simbolo ´), 60-esima parte del grado sessagesimale, e il secondo (simbolo ‟), 60-esima parte del minuto.