funzione di variabile complessa sviluppabile in serie di potenze . Questa definizione fu data da K. Weierstrass che si occupò proficuamente di tali funzioni . Prima di lui A. Cauchy studiò le funzioni di variabile complessa derivabili e le chiamò monogene. Come si dimostrerà più avanti, i due concetti sono coincidenti. Le condizioni di analiticità di una funzione di variabile complessa, cioè di derivabilità secondo la definizione di Cauchy, dette condizioni di Cauchy-Riemann, o condizioni di monogeneità, sono le seguenti. Condizione necessaria e sufficiente perché una funzione di variabile complessa f(z), con z=x+iy, sia monogena in un dato dominio A del piano complesso è che in tale dominio siano verificate le condizioni
in cui u e v sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione, ovvero:
In questa voce si segue la teoria di Weierstrass, e si mostra che i concetti di funzione monogena e di funzione analitica sono perfettamente equivalenti. La teoria delle funzioni analitiche secondo Weierstrass è basata sul concetto di “prolungamento analitico” di una funzione fondato da Weierstrass stesso sulla sua definizione di funzione analitica. Sia
una serie di potenze avente raggio di convergenza r>0, la cui somma indichiamo con p(z). Si può dimostrare che se α è un punto interno al cerchio di convergenza della serie considerata, nel cerchio di centro α e raggio r–|α|, che per brevità indicheremo (α; r–|α|), la p(z) è sviluppabile in serie di potenze (S)
la quale è sicuramente convergente in ogni punto interno al cerchio (α; r–|α|). Sia rα il raggio di convergenza delle serie (S); sicuramente è rα ≥ r–|α| perché non è detto che la serie (S) converga solo nei punti interni al cerchio (0; r). Allora, se è rα >r–|α|, fissiamo l'attenzione sul campo Mα costituito da quei punti del piano complesso, che sono interni al cerchio (α; rα) ma non a (0; r), rilevando che in Mα converge la serie (S), mentre non converge la serie di partenza. La serie (S) che è dedotta immediatamente dalla p(z) e che per brevità indicheremo con p(z|α) fornisce, secondo Weierstrass, il prolungamento analitico in Mα della funzione rappresentata in (0; r) da p(z). Ciò è pienamente giustificato anche dal fatto che, in qualunque punto comune ai due cerchi (0; r) e (α, rα), le due funzioni p(z) e p(z|α) coincidono. Effettuando ripetutamente il procedimento descritto si possono costruire altre serie dedotte da p(z) immediatamente o mediatamente. Se consideriamo tutti i possibili sviluppi in serie ottenuti da p(z) e i rispettivi cerchi di convergenza, i punti interni ad almeno uno di questi cerchi costituiscono il campo V detto campo di esistenza o di regolarità della funzione analitica f(z) costruita a partire da p(z). In altre parole, dicendo che f(z) è analitica regolare per z=z0, si intende che z0 è un punto di V e che per f(z) esiste uno sviluppo in serie di potenze di z–z0 avente raggio di convergenza maggiore di zero. Sia p(z) sia uno qualunque degli sviluppi dedotti da p(z) immediatamente o mediatamente costituiscono gli elementi della funzione analitica f(z). Una funzione analitica è funzione analitica uniforme o monodroma quando, partendo da p(z) e qualunque sia il modo in cui si procede, si ottiene sempre relativamente a un qualsiasi punto γ di V un unico sviluppo in serie di potenze di z–γ. Se, invece, per lo stesso punto γ si possono ottenere almeno due diversi sviluppi in serie di potenze di z–γ, allora nel campo V la funzione f(z) è detta funzione analitica multiforme o polidroma. Si può anche presentare il caso che, pur essendo f(z) multiforme nel suo campo di esistenza V, esista un campo parziale V0, tutto costituito da punti di V, in modo che, partendo da un elemento di f(z) relativo a un punto di V0 e costruendo, senza mai uscire dal campo V0, tutti i possibili sviluppi da esso dedotti immediatamente o mediatamente, si pervenga per ogni punto γ0 interno a V0 a un unico sviluppo in serie di potenze di z–γ0: allora si dice che in V0 la funzione analitica f(z) è costituita da un ramo monodromo. Si dimostra facilmente che i concetti di funzione monogena e funzione analitica sono equivalenti. Infatti, una funzione analitica regolare per z=α è sviluppabile in serie di potenze di z–α, la quale ha raggio di convergenza positivo, ed è noto che, per le proprietà delle serie, tale serie di potenze ammette derivata finita in ogni punto interno al proprio cerchio di convergenza e quindi, in particolare, per z=α. Viceversa, si ha anche che una funzione monogena in un campo A è sviluppabile in serie di potenze z–α per ogni α appartenente ad A, perciò essa è analitica regolare in ogni punto in cui è monogena. I punti del contorno del campo di regolarità di una funzione analitica sono detti singolari per la funzione. Un punto singolare α è detto critico per la funzione analitica se esiste una circonferenza di centro α e raggio sufficientemente piccolo tale che, percorrendo tutta la circonferenza a partire da un suo punto, si ritorna al punto di partenza con un valore della funzione diverso da quello di partenza: per esempio, sia
e si consideri un r reale e positivo. Posto
, è f(z)=
. Per z=r è ϑ=0 per cui
; dopo aver percorso tutta la circonferenza (0; r) nel senso positivo ϑ ha raggiunto il valore 2π, quindi
(questo risultato si ricava tenendo conto che
). Per cui z=0 è un punto critico per la f(z) considerata. Se dopo n giri la f(z) riassume il valore iniziale, il punto è detto algebroide di ordine n. Un punto singolare α si dice polo di ordine m, con m intero positivo, per la funzione f(z), se per z=α è regolare la funzione prodotto (z–α)f(z), mentre non è regolare la funzione
Un punto singolare è detto isolato per la funzione analitica quando per esso esiste un cerchio avente il centro nel punto stesso e raggio sufficientemente piccolo, tale che nel cerchio non è contenuto alcun altro punto singolare. Si può dimostrare che nei punti di tale cerchio, diversi da α, la funzione f(z) ammette uno sviluppo in serie dato da
che costituisce una serie di Laurent. Essa differisce dalle serie finora considerate perché vi compaiono termini a esponenti negativi. Nello sviluppo di Laurent il coefficiente della potenza
si chiama residuo di f(z) per z=α: esso si calcola dalla formula dove C è una curva chiusa, tutta costituita di punti appartenenti al campo di regolarità della f(z), contenente nel suo interno il punto z=α e che viene percorsa in verso positivo. Un punto singolare α è punto singolare essenziale, se non è un polo e se esiste una circonferenza di centro α e raggio sufficientemente piccolo tale che, in questo cerchio, la funzione sia monodroma. Costituiscono esempi di funzioni analitiche monodrome le polinomiali, le razionali fratte, le trascendenti intere e le serie di Taylor di potenze; costituiscono esempi di funzioni analitiche polidrome le funzioni irrazionali, le funzioni logaritmiche, le funzioni trigonometriche inverse. Nella teoria delle funzioni analitiche ha notevole importanza l'impostazione geometrica di B. Riemann, il quale definì le funzioni analitiche mediante proprietà delle loro rappresentazioni. Egli introdusse la “superficie di Riemann”, ente che è in stretta relazione con la funzione da studiare. Infatti le proprietà di tali superfici hanno notevoli connessioni con quelle delle corrispondenti funzioni analitiche e in particolare con le loro rappresentazioni geometriche. Inoltre se la funzione analitica è polidroma nel suo campo di regolarità, la si può pensare come funzione a un solo valore del punto variabile sulla relativa superficie di Riemann. Benché questo indirizzo sembri notevolmente diverso da quello seguito da Weierstrass, è stato dimostrato da E. J. B. Goursat agli inizi del sec. XX che anche queste due definizioni sono equivalenti.
