ergodica, teoria

(dal greco ἔργον érgon, lavoro, e ὁδός hodós, via, percorso) Teoria che si occupa dello studio matematico del comportamento sul medio e lungo periodo di sistemi dinamici. All’interno della Meccanica Statistica, che vuole dimostrare i principi della termodinamica come teoremi a partire dalle equazioni della dinamica, la teoria ergodica è uno dei tentativi di spiegare le proprietà termodinamiche dei sistemi macroscopici: vale a dire dei sistemi composti dal numero di particelle almeno pari al numero di AVOGADRO, 6 x 10²³. Il termine è stato coniato dal matematico e fisico austriaco Ludwig Boltzmann in relazione ai sistemi meccanici complessi capaci di assumere spontaneamente tutti gli stati dinamici microscopici compatibili con il loro stato macroscopico. Le particelle costituenti il sistema assumono ogni insieme di valori istantanei di posizione e velocità, le cui caratteristiche medie corrispondono allo stato macroscopico del sistema. In seguito, Josiah Willard Gibbs ha proposto l’ipotesi ergodica secondo cui la media temporale di una proprietà del sistema risulterebbe equivalente alla media istantanea della medesima proprietà nell’insieme canonico quando il numero degli stati tende all'infinito. Essa, tuttavia, si è dimostrata falsa se applicata alla generalità dei sistemi meccanici per i quali era stata formulata, per cui si sono definiti sistemi quasi-ergodici, che hanno la proprietà, più debole, di passare per stati arbitrariamente prossimi agli stati microscopici compatibili con l'energia totale. Il modello semplice per visualizzare la teoria ergodica è quello del biliardo bidimensionale, un sistema dinamico che considera il moto di una palla, con velocità assegnata in una determinata sezione del piano euclideo, che rimbalzi sul bordo di quest’ultimo. In base all'ipotesi ergodica la palla dovrebbe passare per ogni posizione possibile sulla porzione di piano assegnata.

Bibliografia

V.I. Arnol’d, A. Avez, Ergodic Problems of Classical Mechanics, Boston 1968; P. Walters, An introduction to ergodic theory, Berlino 1982; C. Sempi, Introduzione alla teoria ergodica, Quaderni del Dipartimento di Matematica dell'Università di Lecce, Lecce 2005