chi quadro

in statistica, test o indice di adattamento (indicato appunto con il simbolo χ²) introdotto da K. Pearson allo scopo di valutare il grado di adattamento di una certa distribuzione teorica a una osservata; di valutare, cioè, se le differenze fra una distribuzione effettiva, osservata, e la corrispondente distribuzione desunta da un'ipotesi teorica siano dovute al caso oppure siano significative. Esso può essere impiegato, per esempio, per verificare in che misura una distribuzione campionaria si adegui a una data distribuzione teorica così da decidere se il campione sia stato o non sia stato tratto da una popolazione con quella data distribuzione, oppure può essere impiegato per verificare l'attendibilità di una relazione statistica tra due fenomeni, cioè per verificare, per esempio, se i due fenomeni siano o non siano significativamente connessi. Il χ² si calcola con la formula

dove O_i sono le frequenze osservate e T_i sono le corrispondenti frequenze teoriche. Dalla formula appare chiaramente che il valore di χ² sarebbe zero se le frequenze effettive fossero sempre uguali alle teoriche e che tale valore è tanto più grande quanto più grande è la differenza fra le frequenze osservate e le frequenze desunte dall'ipotesi teorica. I valori di χ² si distribuiscono fra 0 e ∞ ma in modo diverso secondo i gradi di libertà. Le relative curve di distribuzione sono di tipo unimodale asimmetrico con il valore massimo in corrispondenza di χ²=ν – 2 (dove ν indica i gradi di libertà). Esse tendono alla simmetria al crescere di ν e alla normalità al tendere di ν all'infinito. Per ciascun numero ν di gradi di libertà (cioè per ciascuna distribuzione) il valore medio della distribuzione di χ² è sempre uguale a ν e la varianza è uguale a 2ν. Vari autori hanno approntato apposite tavole dove è indicata una serie di valori assunti da χ² in funzione di dati valori di ν e di P (probabilità che tali valori assunti da χ² si verifichino per effetto del caso). In pratica per decidere se le differenze fra frequenze osservate e frequenze teoriche siano dovute al caso o siano significative, si predetermina il limite fiduciario (per esempio, si stabilisce di considerare significativi i valori di χ² per cui sia P<0,05 e casuali quelli per cui sia P≥0,05) e, quindi, tenendo conto dei gradi di libertà (dati dal numero delle classi di osservazione meno 1, oppure, nel caso di tavole a doppia entrata, dal prodotto del numero delle righe meno 1 per il numero delle colonne meno 1), si legge sulle tavole la probabilità corrispondente al valore di χ² calcolato. In conformità al limite fiduciario prefissato, le differenze fra valori teorici e valori osservati saranno considerate significative o casuali secondo se il valore di χ² calcolato risulterà avere probabilità inferiore o superiore a tale limite.