baricèntro

Lessico

sm. [bari-+centro]. Punto di applicazione del risultante (detto peso o forza peso) di tutte le forze dovute all'azione della gravità su un sistema discreto o continuo di punti materiali. È anche detto centro di gravità. Per estensione, in geometria, si parla di baricentro di una figura piana o solida, pensata come costituita da una sostanza omogenea , cioè di densità costante.

Meccanica: generalità

Dato un sistema di n punti materiali, rispettivamente di pesi p₁, p₂, ... p_n, dalla legge di composizione delle forze si deducono, per le coordinate x, y, z del baricentro, le seguenti espressioni

in cui x_i, y_i, z_i sono le coordinate del i-mo punto considerato, il simbolo Σ indica l'operazione di somma (sommatoria) estesa a tutti i valori di i (i=1, ..., n); il termine Σ p_i indica pertanto il peso complessivo del sistema. Nel caso di un campo di gravità uniforme, cioè con accelerazione di gravità g uguale in modulo e in direzione per tutti i punti del sistema, si possono sostituire ai termini p_i i termini m_i g (m_i, massa del i-mo punto) pervenendo in tal modo alle seguenti relazioni

in cui Σ m_i rappresenta la massa totale del sistema. In questo caso si parla di centro di massa, piuttosto che di baricentro, per quanto i due punti si possano considerare, in generale, coincidenti; nella trattazione successiva non si farà distinzione tra baricentro e centro di massa. Le relazioni date si estendono poi al caso di sistemi costituiti da distribuzioni continue di masse, sostituendo all'operazione di somma per un numero finito di punti l'operazione di integrazione, cioè di somma per un numero infinito di punti, considerati di massa infinitesima. Nel caso di corpi con densità costante (corpi omogenei) e gravità costante, si ha:

in cui ρ è la densità (costante) del corpo, ρdV=dm la massa infinitesima contenuta nell'elemento infinitesimo di volume dV e ʃ_v indica l'operazione di integrazione, cioè di somma dei termini infinitesimi xdm, ydm, zdm, su tutto il volume V del corpo di massa M=ʃ dm. Un modo empirico per determinare il baricentro di un corpo qualsiasi si deduce dalla statica dei corpi rigidi vincolati a un punto: condizione di equilibrio stabile per un corpo rigido pesante con un punto fisso è che il baricentro si trovi sulla verticale per il punto fisso al di sotto di esso. Si appende allora il corpo a un filo fissato in un punto A del corpo stesso e si considera la verticale passante per quel punto; ripetendo una seconda volta l'operazione per un punto B diverso, si trova una seconda verticale: il baricentro coincide con il punto comune alle due verticali.

Meccanica: determinazione del baricentro

Il problema della determinazione del baricentro di un sistema può essere molto semplificato tenendo conto di alcune proprietà del baricentro stesso: A) Se tutte le masse sono distribuite su un piano il baricentro appartiene a quel piano; B) Se la distribuzione è ancora piana e la figura ha degli assi di simmetria, allora il baricentro appartiene a ciascuno di essi e pertanto anche al punto comune di due di essi. Analogamente, per una distribuzione spaziale di masse, per un corpo dotato di piani di simmetria, il baricentro appartiene a ciascuno di essi e quindi coincide con il punto comune a tutti (proprietà di simmetria del baricentro); C) Se si divide il corpo considerato in due o più parti e di ciascuna di esse si determina il baricentro, il baricentro del corpo è quello del sistema costituito dall'insieme dei baricentri parziali ai quali si attribuisce la massa della porzione di corpo corrispondente (proprietà distributiva del baricentro). La determinazione del baricentro può essere quindi fatta con considerazioni geometriche nel caso di figure, piane o solide, pensate come omogenee. Così, il baricentro di un triangolo è il punto di incontro delle mediane, che divide ciascuna di esse nel rapporto due a uno (il segmento dal baricentro al vertice è il doppio dell'altro); analogamente, il baricentro di un tetraedro è il punto di incontro dei piani mediani (piani per uno spigolo e per il punto di mezzo del lato opposto). A questi primi casi ci si può ricondurre sfruttando la proprietà distributiva del baricentro; per esempio, il baricentro di un quadrangolo si può ottenere dividendolo in due triangoli, trovandone i baricentri, e determinando quindi il baricentro del sistema formato dai due baricentri trovati nei quali si immaginino concentrate le masse dei due triangoli. Infine, se la figura ha un centro di simmetria, esso coincide con il baricentro.

Meccanica: teorema del moto baricentro

Qualunque sia il sistema materiale che si considera e qualunque sia la sollecitazione cui è sottoposto, il baricentro si muove come se fosse un punto materiale dotato della massa totale del sistema e sollecitato dal risultante di tutte e sole le forze esterne agenti sul sistema stesso. Da questo teorema consegue che mediante le sole forze interne non è possibile modificare il moto del baricentro; così il baricentro di un tuffatore descrive una parabola, quali che siano i singoli movimenti compiuti dal tuffatore durante la caduta.

Matematica

Un'importante generalizzazione del concetto di baricentro può essere fatta come segue: in uno spazio euclideo n-dimensionale R siano dati m punti materiali, A₁, A₂,..., A, e le coordinate di A siano i numeri x_j,. In A sia concentrata la massa m_j. La i-ma coordinata b_i del baricentro B del sistema di punti materiali assegnato è

Le formule ora scritte hanno un senso matematico anche per valori negativi delle “masse” (purché la loro somma non sia nulla).

Elettrologia

Una generalizzazione del concetto di baricentro si ha in elettrologia e in magnetismo, dove per baricentro di un sistema di cariche elettriche o masse magnetiche, si intende il punto le cui coordinate sono dedotte dalle formule relative a un sistema di punti materiali, nelle quali alle masse si sostituiscano le cariche elettriche e, rispettivamente, le masse magnetiche del sistema considerato. Si dice baricentro dei carichi elettrici, in una linea elettrica a sezione costante che alimenta carichi distribuiti, il punto nel quale, applicando un carico pari alla somma di tutti i carichi, la caduta di tensione prodotta nella linea è uguale a quella prodotta dai carichi distribuiti.