Banach, Stefan

Biografia

Matematico polacco (Cracovia 1892-Leopoli 1945). Professore dal 1924 all'Università di Leopoli, partecipò alla resistenza contro l'aggressione nazista rimanendone vittima. È lo studioso più rappresentativo della cosiddetta “scuola polacca” di matematici fiorita negli anni fra le due guerre mondiali. Fornì un importante contributo allo sviluppo dell'analisi funzionale con la teoria degli spazi vettoriali normati e completi, detti spazi di Banach, esposta la prima volta nel 1923 su Fundamenta mathematicae che costituì in quegli anni la rivista ufficiale della scuola e uno dei più importanti bollettini matematici del mondo. Tra le opere: Théorie des opérations linéaires (1932; Teoria delle operazioni lineari).

Spazio di Banach

Sia V uno spazio vettoriale sul campo R dei numeri reali o sul campo C dei numeri complessi. Sia tale spazio dotato di una norma. Indichiamo con ||v|| la norma di un vettore v di V. Introducendo in V la distanza tra vettori v e w di V data da d(v, w)= ||v-w||, otteniamo uno spazio metrico. Tale spazio si dice spazio di Banach se è completo, cioè se ogni successione di Cauchy è convergente. Gli spazi vettoriali di dimensione finita su R o su C sono spazi di Banach. Essi sono infatti completi relativamente a qualsiasi norma. Diamo ora alcuni esempi di spazi di Banach tra i più usati in analisi. A) Lo spazio vettoriale l, con p≥1, delle successioni numeriche x=|x_n| tali che:

con la norma:

B) Lo spazio vettoriale C [a, b] delle funzioni continue x=x (t) con a≤t≤b con la norma:

C) Dato uno spazio normato X e uno spazio di Banach Y, lo spazio vettoriale L (X,Y) delle funzioni lineari continue f: X↔Y con la norma:

Teorema di Banach

Siano X e Y spazi di Banach. Sia f: X↔Y una funzione lineare, continua e surgettiva. Se A è un aperto di X, allora f(X) è un aperto di Y. In particolare, se la funzione f è lineare, continua e biunivoca, allora essa è un omeomorfismo.

Teorema di Banach-Steinhaus

È detto anche principio della uniforme limitatezza. Siano X e Y spazi di Banach. Sia data una famiglia B di funzioni lineari e continue f: X↔X. Se, per ogni x di X, si ha:

allora esiste una costante e tale che, per ogni x di X e per ogni funzione f di B, si ha:

Teorema del punto fisso di Banach

(o teorema delle contrazioni). Sia X uno spazio metrico completo in cui indichiamo con d(x, y) la distanza tra i punti x e y di X. Se f: X↔X è una funzione per la quale esiste una costante k<1 tale che, per tutti i punti x e y di X, si ha d(f(x), f(y))≤k∤d(x, y), allora esiste uno e un solo punto u di X tale che f(u)=u. Il punto u si dice punto fisso (o unito) per f.

Teorema di Hahn-Banach

Sia X uno spazio vettoriale normato e siano A e B due suoi sottoinsiemi convessi, non vuoti e disgiunti. Se A è aperto, esiste una funzione lineare e continua f: X↔R e un numero reale k tale che, per ogni a di A e per ogni b di B, si ha:

In particolare, se X ha dimensione finita, una tale funzione f esiste anche se A non è aperto. Questo teorema ha un significato geometrico nel caso in cui X sia R² o R³. Infatti, nel caso di R², l'insieme dei punti tali che f(x)=k è una retta. Dati quindi due sottoinsiemi A e B di R² convessi, non vuoti, e disgiunti, esiste una retta che divide il piano R² in due semipiani, uno dei quali contiene A e l'altro contiene B. Nel caso di R³, l'insieme dei punti tali che f(x)=k è un piano. Dati quindi due sottoinsiemi A e B di R³ con le ipotesi di cui sopra, esiste un piano che divide R³ in due semispazi uno dei quali contiene A e l'altro contiene B.