varietà
Indice
Lessico
sf. [sec. XIV; dal latino variĕtas-ātis].
1) L'essere vario; in particolare, di cosa, l'essere costituita da elementi fra loro dissimili: la grande varietà del paesaggio italiano. Anche l'assumere forme diverse, mutevolezza: varietà di un clima.
2) Diversità fra più cose: varietà d'opinioni; varietà di cibi. Per estensione, assortimento: la ditta presenta una grande varietà di modelli.
3)Con valore più concr., elemento singolo oppure gruppo di elementi che, all'interno di una specie, si distingue per particolari caratteri: una pregiata varietà di uva; un marmo di varietà poco comune.
Matematica
In generale, insieme di oggetti. Più specificamente, in geometria, varietà topologica, spazio topologico X tale che ogni punto possegga un intorno U omeomorfo allo spazio numerico Rn; l'intero n, che è costante per ogni punto, prende il nome di dimensione della varietà topologica. Si definisce carta di X una coppia (U, f), dove U è un insieme aperto di X ed f è un omeomorfismo di U con f(U)⊆Rn: se (V, g) è un'altra carta e U∩V≠Ø, resta definito un omeomorfismo f∤g-1: g(U∩V) —→ f(U∩V), che dicesi cambiamento di coordinate. Ciò significa, in altri termini, che se ai punti di U si possono assegnare coordinate tramite l'omeomorfismo f e analogamente si può fare per i punti di V, allora le coordinate dei punti di U∩V sono legate tra loro da funzioni continue invertibili. Si definisce, inoltre, che un atlante di X è una famiglia di carte (Ui, fi)I´ tale che la famiglia (Ui)I sia un ricoprimento di X. Un atlante dicesi differenziabile (oppure analitico) se i cambiamenti di coordinate
sono funzioni differenziabili (oppure analitiche); ciò ha un senso, essendo le funzioni fi∤fj-1 funzioni di un aperto di Rn in Rn. In base a ciò si può definire varietà differenziabile (oppure varietà analitica) una coppia (X, A), dove X è una varietà topologica e A un atlante differenziabile (oppure analitico). Sulle varietà differenziabili (e allo stesso modo si procede per quelle analitiche) può definirsi il concetto di funzione differenziabile. Una funzione f:X —→ R dicesi differenziabile in un punto x∊X se esiste una carta (U, h) tale che x∊X e f∤h-1 (che è una funzione di Rn in R) sia differenziabile come funzione di n variabili reali. Sulla base di questo concetto può introdursi quello di applicazione differenziabile e, in particolare, di diffeomorfismo. Un'applicazione continua f:X —→ Y tra due varietà differenziabili dicesi differenziabile se per ogni funzione differenziabile g su Y la funzione g∤f è differenziabile su X; se una tale f è un omeomorfismo e ammette un'inversa differenziabile, f dicesi un diffeomorfismo e le due varietà diconsi diffeomorfe. Nella teoria delle varietà differenziabili, il fatto seguente ha notevole importanza. Dicesi sottovarietà differenziabile d-dimensionale di Rk un sottospazio chiuso che localmente, cioè nell'interno di ogni suo punto, possa essere descritto da equazioni del tipo
con le fi(x₁,..., xk) funzioni differenziabili. Per esempio le sottovarietà 2-dimensionali di R3 sono le superfici. Orbene, si dimostra che ogni varietà differenziabile è diffeomorfa a una sottovarietà dello spazio numerico R2n+1, essendo n la dimensione della varietà: in altri termini, ogni varietà differenziale può sempre pensarsi immersa in uno spazio numerico. Particolari varietà differenziabili sono le varietà riemanniane, varietà cioè dotate di una metrica riemanniana. È bene sottolineare che non ogni varietà topologica è differenziabile, o analitica, e che una varietà topologica può essere dotata di più strutture differenziabili. Il concetto di varietà algebrica è introdotto in modo diverso. Dapprima, si definisce insieme algebrico di uno spazio proiettivo Pn l'insieme dei punti di questo spazio che con le loro coordinate proiettive omogenee soddisfano a un sistema di equazioni algebriche omogenee. Un insieme algebrico è irriducibile se non è unione di due insiemi algebrici distinti da quello dato e da Ø. Per varietà algebrica si intende allora un insieme algebrico irriducibile; è questa la definizione di varietà algebrica proiettiva. Se la varietà è immersa in uno spazio affine, si parla di varietà algebrica affine. Nella teoria delle varietà algebriche un concetto fondamentale è quello di equivalenza birazionale. Due varietà proiettive V e W diconsi birazionalmente equivalenti se esiste una trasformazione birazionale di V su W, cioè se le coordinate (y0,..., ym) di un punto variabile su W si esprimono come funzioni razionali delle coordinate (x0,..., xn) di un punto variabile su V e viceversa; in formule:
i=0,1,..., m ed Fi e Gi sono polinomi dello stesso grado. Una varietà algebrica dicesi allora razionale se è birazionalmente equivalente a uno spazio proiettivo. Per esempio, le quadriche non degeneri dello spazio ordinario sono superfici razionali, l'equivalenza birazionale essendo stabilita per proiezione stereografica. Il concetto di varietà algebrica non può essere ricondotto immediatamente a quello di varietà topologica. Se però il campo base ove è definito lo spazio proiettivo è il campo dei numeri complessi, allora ogni varietà algebrica può essere considerata non solo come varietà topologica, ma addirittura come varietà complessa e quindi differenziabile. Per varietà complessa s'intende uno spazio topologico dotato di un atlante analitico complesso, cioè formato da omeomorfismi con dischi aperti di Cn e cambiamenti di coordinate analitici complessi.