finitézza

Lessico

sf. [sec. XVII; da finito].

1) L'essere finito con accuratezza, perfetto; compiutezza, perfezione.

2) L'essere limitato, incompiutezza.

Logica matematica

Del teorema di finitezza si hanno due versioni, una sintattica, discendente immediatamente dalla definizione di derivazione, e una semantica, derivabile dalla prima. Il teorema sintattico afferma che data una teoria T in un linguaggio del primo ordine, una formula è un teorema di T se e solo se è teorema di una sottoteoria finita di T. Il teorema semantico afferma invece che, data una teoria T, sempre in un linguaggio del primo ordine, essa ha un modello se e solo se ogni sua sottoteoria ne ha uno. Il teorema semantico viene a volte chiamato teorema di compattezza in quanto se ne può dare una versione topologica che dimostra appunto la compattezza di uno spazio topologico associato al linguaggio dato. Dato il linguaggio L del primo ordine si può infatti considerare lo spazio TL ottenuto considerando come punti le classi di modelli che rendono vere le stesse formule di L (classi di equivalenza rispetto a L) e come aperti di base le classi ottenute prendendo per ogni formula di L la classe dei suoi modelli e passando al quoziente rispetto all'equivalenza. Il teorema di finitezza diventa così la dimostrazione che lo spazio TL è compatto.