Klein, Felix Christian

matematico tedesco (Düsseldorf 1849-Gottinga 1925). Allievo e assistente di J. Plücker, insegnò (1872-75) all'Università di Erlangen, per passare poi al Politecnico di Monaco e nel 1880 all'Università di Lipsia. Nel 1886, trasferitosi a Gottinga, fondò un istituto di matematiche applicate e diresse la Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. A Klein si devono ricerche sulle superfici di Riemann, sulla teoria dei numeri, sulle funzioni iperellittiche, sulla geometria non-euclidea e sulla matematica applicata alla fisica. Nella sua prolusione del 1872, alla nomina a professore nell'Università di Erlangen, formulò il cosiddetto programma di Erlangen, in cui venivano proposti uno studio e una classificazione dei vari tipi di geometria con riferimento a particolari gruppi di trasformazione.

Otre o bottiglia di Klein

Superficie chiusa unilaterale, cioè senza esterno né interno, che può pensarsi ottenuta dal quadrato, dato dai punti (x, y) tali che 0≤x≤1 e 0≤y≤1, identificandone i lati opposti in modo tale che (0, y) sia identificato con (1, y) per ogni y e che (x, 0) sia identificato con (1-x, 1) nella quale sono indicati con la stessa lettera punti che sono identificati). La figura così ottenuta è, dal punto di vista topologico, una superficie. Ogni suo punto ha infatti un intorno omeomorfo a un intorno di un punto nel piano ordinario: per esempio gli intorni di un punto F interno al quadrato, di un punto G corrispondente a due punti appartenenti ai lati verticali del quadrato, di un punto H corrispondente a due punti appartenenti ai lati orizzontali del quadrato e del punto A corrispondente ai quattro vertici del quadrato. In una figura si possono rappresentare gli intorni degli stessi punti dopo aver fatto le identificazioni dei lati del quadrato. Si possono indicate con gli stessi numeri porzioni di superficie corrispondenti. La bottiglia di Klein non è immergibile nell'ordinario spazio tridimensionale. Per avere un'idea della bottiglia di Klein, si pensi di avere un quadrato di gomma. Si identifichino innanzitutto i lati verticali del quadrato. Si ottiene un cilindro. Le due basi del cilindro corrispondono ai lati orizzontali del quadrato che devono essere ancora identificati. Perché una tale identificazione possa verificarsi, si ripiega il cilindro in modo che una sua base penetri nella superficie e vada a identificarsi con l'altra base nel modo voluto. Si nota che, per ottenere una figura nello spazio tridimensionale, si son dovute fare delle identificazioni in punti che originariamente erano interni al quadrato. La bottiglia di Klein è una superficie non orientabile.

Quadrica di Klein

Ipersuperficie di ordine due (iperquadrica) di uno spazio proiettivo a cinque dimensioni, i cui punti sono in corrispondenza birazionale e biunivoca con la totalità delle rette di uno spazio proiettivo a tre dimensioni. In tal modo la geometria della retta dello spazio ordinario viene ricondotta allo studio di una varietà algebrica di uno spazio proiettivo.

Gruppo di Klein

È il gruppo i cui elementi sono le simmetrie del piano rispetto a due assi tra loro perpendicolari, la simmetria rispetto al punto di intersezione dei due assi e l'identità. L'operazione è la composizione di funzioni. È un gruppo abeliano con quattro elementi e ciascuno di essi, tranne l'identità, ha periodo due.

Bibliografia

K. H. Manegold, Felix Klein als Wissenschaftorganisator, in “Technik-Geschichte”, 1968; F. Russo, Groupes et géometrie: la genèse du programme d'Erlangen, Parigi, 1969; F. G. Tricomi, Il centenario del “Programma di Erlangen” di Felix Klein, Roma, 1972.