Fourier, Jean-Baptiste-Joseph

matematico e fisico francese (Auxerre 1768-Parigi 1830). Professore di analisi all'École Polytechnique di Parigi, fu (1798) al seguito di Napoleone in Egitto. Nel 1802 fu nominato prefetto dell'Isère, nel 1817 membro dell'Accademia delle Scienze e nel 1826 dell'Accademia di Francia. Trattò sistematicamente le serie matematiche che portano il suo nome, fondamentali nello studio di tutti i fenomeni periodici. Elaborò il metodo di rappresentazione delle funzioni periodiche mediante le serie trigonometriche e applicò questi procedimenti allo studio della teoria analitica del calore (Théorie analytique de la chaleur, 1822). Gli si devono anche un teorema sulle radici di un'equazione algebrica e una profonda revisione del concetto di funzione, con l'accantonamento della continuità come proprietà essenziale.

Sviluppo in serie di Fourier

È la rappresentazione di una funzione f(t), periodica con periodo T, mediante un'opportuna serie trigonometrica (serie di Fourier), usata per l'analisi armonica della funzione. La condizione sotto cui f(t) è sviluppabile in serie di Fourier e per la quale questa converge a f(t) quasi ovunque, cioè a meno di un intervallo di misura nulla, è che f(t) sia una funzione a quadrato sommabile nell'intervallo (–T/2, T/2); inoltre, affinché la convergenza sia uniforme occorre che f(t) sia continua quasi ovunque. Lo sviluppo in serie di Fourier di una funzione f(t) può essere espresso nella forma

Ciò permette di stabilire che un segnale periodico f(t) si può immaginare composto da una componente continua di valore A₀, pari al valor medio di f(t), una componente (fondamentale o prima armonica) a frequenza 1/T, di ampiezza C₁ e sfasamento φ₁

, e una serie di armoniche a frequenze n/T multiple della frequenza fondamentale, di ampiezza C e sfasamento φ. Le armoniche rappresentano ciò che si può misurare all'uscita di un filtro a banda stretta centrato alla frequenza n/T, quando all'ingresso sta applicato il segnale f(t).

Trasformazione di Fourier

Corrispondenza che associa a una generica funzione f(t), non necessariamente periodica, definita e a quadrato sommabile nell'intervallo (–∞, +∞), la funzione

(dove i è l'unità immaginaria, spesso indicata anche con j) F(ω) è detta trasformata di Fourier della f(t). Il teorema dell'integrale di Fourier stabilisce che f(t) è rappresentabile mediante l'integrale

La funzione F(ω) è denominata anche densità spettrale di f(t) in quanto F(ω)dωrappresenta l'ampiezza delle componenti di f(t) comprese tra le pulsazioni ω e ω+dω. Nell'analisi dei circuiti elettronici, la trasformata di Fourier è un importante strumento di calcolo in quanto fornisce una semplice relazione tra le operazioni eseguite nel dominio del tempo e le corrispondenti operazioni nel dominio delle frequenze, consentendo inoltre di dedurre importanti proprietà delle reti. Per esempio, l'equazione differenziale di una rete lineare si trasforma in un'equazione algebrica di pari grado; la funzione di trasferimento risulta la trasformata della risposta al delta di Dirac nel dominio del tempo; per una cascata di reti le funzioni di trasferimento si compongono con la semplice moltiplicazione, ecc.

Coefficienti di Fourier

Sia V uno spazio vettoriale di dimensione non necessariamente finita dotato di prodotto scalare definito positivo, U un sottospazio vettoriale di V di dimensione finita e {φ₁, ..., φ} una base ortonormale di U, cioè una base tale che i suoi vettori siano a due a due ortogonali e di lunghezza uguale a 1. Dato un vettoref di V, si definiscono coefficienti di Fourier di f relativi alla base data, i numeri c=<f, φ>, con i=1, ..., n, dove con <f, φ> si indica il prodotto scalare dei due vettori. Il vettore c₁φ₁+...+c è il vettore di U avente distanza minima dal vettore f. Nel caso in cui lo spazio V coincida con lo spazio U e quindi {φ₁ , ..., φ} è una base di V, i coefficienti di Fourier di f sono uguali alle coordinate del vettore f relativamente alla base data; si ha cioè f=c₁φ₁+...+c.