Clairaut, Alexis-Claude

matematico e astronomo francese (Parigi 1713-1765). Ingegno precoce, scrisse nel 1726 la sua prima memoria su quattro curve da lui scoperte, cui seguì un celebre trattato sulle curve a doppia curvatura che gli valse l'ammissione all'Accademia delle Scienze all'età di soli diciotto anni. Nel 1736 partecipò alla spedizione geodetica in Lapponia, diretta da P. L. de Maupertuis, con lo scopo di chiarire la questione circa l'appiattimento della Terra ai poli. Nel 1743 pubblicò un classico lavoro sulla figura della Terra, in cui trattava per via teorica l'equilibrio di un solido di rotazione sotto l'influenza delle varie forze agenti ottenendo un accordo soddisfacente con i risultati sperimentali conseguiti nella spedizione. Studiò il problema dei tre corpi e formulò le equazioni del moto della Luna dandone una soluzione approssimata. Calcolò l'effetto perturbativo di Giove e Saturno sul moto della cometa di Halley e ne previde, con un margine di imprecisione di trenta giorni, il ritorno al perielio nell'aprile del 1759. Si occupò anche di equazioni differenziali e dimostrò l'esistenza di un integrale singolare per l'equazione che oggi porta il suo nome.

Equazione di Clairaut

Equazione differenziale del tipo y=xy´+B(y´) con B(y´) funzione continua con le derivate dei primi due ordini e B(y‟)≠0. Si risolve derivando ambo i membri rispetto alla x: y‟=y´+x+B´(y´) dy´/dx, equazione che è soddisfatta per dy´/dx=0 oppure per x+B(y´)=0. L'integrale generale è quindi dato da y=cx+B(c), mentre un integrale singolare è dato, in forma parametrica, dalle equazioni:

L'equazione di Clairaut, che costituisce la formula fondamentale della teoria delle configurazioni di equilibrio di pianeti fluidi omogenei (cioè con densità variante con continuità dal centro alla periferia), è importante sia per le sue applicazioni alla geodesia, sia per il fatto che tutte le equazioni differenziali del primo ordine possono ridursi a essa.